专题27 解三角形的应用-2025年高考数学一轮复习讲义（新...

更新时间：2025-01-06 浏览次数：4 类型：一轮复习

一、单选题

1. 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在水平线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， $\text{[math]}$ 称为“表距”， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都称为“表目距”， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的差称为“表目距的差”则海岛的高 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ 表高 B . $\text{[math]}$ 表高 C . $\text{[math]}$ 表距 D . $\text{[math]}$ 表距

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二、填空题

2. 已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向， $\text{[math]}$ ，存在点A满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ (精确到0.1度)

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3. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，M是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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4. （2021·浙江·高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为 $\text{[math]}$ ，小正方形的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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三、解答题

5. 记 $\text{[math]}$ 是内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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四、单选题

6. 在 $\text{[math]}$ 高的楼顶 $\text{[math]}$ 处，测得正西方向地面上 $\text{[math]}$ 两点 $\text{[math]}$ 与楼底在同一水平面上）的俯角分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 两点之间的距离为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为 $\text{[math]}$ ，沿倾斜角为 $\text{[math]}$ 的斜坡向上走了90米到达B点（A ， B ， P ， Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为 $\text{[math]}$ ，则鼎湖峰的山高PQ为（）米

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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五、多选题

8. 如图，在海面上有两个观测点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的正北方向，距离为 $\text{[math]}$ ，在某天10：00观察到某航船在 $\text{[math]}$ 处，此时测得 $\text{[math]}$ 分钟后该船行驶至 $\text{[math]}$ 处，此时测得 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 观测点 $\text{[math]}$ 位于 $\text{[math]}$ 处的北偏东 $\text{[math]}$ 方向 B . 当天10：00时，该船到观测点 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ C . 当船行驶至 $\text{[math]}$ 处时，该船到观测点 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ D . 该船在由 $\text{[math]}$ 行驶至 $\text{[math]}$ 的这 $\text{[math]}$ 内行驶了 $\text{[math]}$

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9. 如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔 $\text{[math]}$ (A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B ， C ， D不在同一直线上)，测得 $\text{[math]}$ .测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有： $\text{[math]}$ ，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔 $\text{[math]}$ 的高度的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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六、填空题

10. 已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向， $\text{[math]}$ ，存在点A满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ (精确到0.1度)

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11. 瀑布是庐山的一大奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布中》写道：日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川，飞流直下三千尺，疑是银河落九天.为了测量某个瀑布的实际高度，某同学设计了如下测量方案：沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为 $\text{[math]}$ ，沿山道继续走20 $\text{[math]}$ ，测得瀑布顶端的仰角为 $\text{[math]}$ .已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为 $\text{[math]}$ .根据这位同学的测量数据，可知该瀑布的高度为 $\text{[math]}$ ；若第二次测量后，继续行进的山道有坡度，坡角大小为 $\text{[math]}$ ，且两段山道位于同一平面内，若继续沿山道行进 $\text{[math]}$ ，则该同学望向瀑布顶端与底端的视角正切值为.（此人身高忽略不计）

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七、单选题

12. 在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 折起，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大时，三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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13. 下列命题中，不正确的是（）

A . 线性回归直线 $\text{[math]}$ 必过样本点的中心 $\text{[math]}$ B . 若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 若“ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ”的逆命题为假命题 D . 若 $\text{[math]}$ 为锐角三角形，则 $\text{[math]}$ .

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八、多选题

14. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是等腰三角形 B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 周长的最大值为 $\text{[math]}$ D . 若角 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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15. 黄金分割是指将整体一分为二，较小部分 $\text{[math]}$ 与较大部分 $\text{[math]}$ 的比值等于较大部分 $\text{[math]}$ 与整体部分 $\text{[math]}$ 的比值，其比值为 $\text{[math]}$ ，这个比例被公认为是最能引起美感的比例．四名同学对此展开了探究，下列说法中正确的是（）

A . 若椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点在 $\text{[math]}$ 轴上，上顶点为 $\text{[math]}$ ，右顶点为 $\text{[math]}$ ，左焦点为 $\text{[math]}$ ．小欧提出只要满足 $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率就等于 $\text{[math]}$ B . 一顶角等于 $\text{[math]}$ 的等腰三角形，小斯通过正、余弦定理和二倍角公式，算得该三角形底边长与腰长的比值等于 $\text{[math]}$ C . 假设 $\text{[math]}$ ，小莱发现若公比大于0的等比数列 $\text{[math]}$ 与著名的斐波那契数列的递推公式 $\text{[math]}$ 相同，则数列 $\text{[math]}$ 的公比等于 $\text{[math]}$ D . 小利在阅读时了解到：古老的雅典帕提农神庙，其柱顶至屋顶的距离 $\text{[math]}$ 与柱高 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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九、填空题

16. 如图，平面四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值为.

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17. 如图，在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 边上的高为 $\text{[math]}$ 边上的高为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ .

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十、解答题

18. 已知函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）在锐角 $\text{[math]}$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.条件①： $\text{[math]}$ ；条件②： $\text{[math]}$ ；条件③： $\text{[math]}$ 的面积为S，且 $\text{[math]}$ .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
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19. 如图，已知平面四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 四点共圆，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值．
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20. 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的外接圆半径为4.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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21. 已知 $\text{[math]}$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求c的值以及 $\text{[math]}$ 的面积；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值以及 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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22. （2023·云南保山·二模）如图，在平面四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）当四边形 $\text{[math]}$ 内接于圆O时，求角C；
2. （2）当四边形 $\text{[math]}$ 面积最大时，求对角线 $\text{[math]}$ 的长.
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23. 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆 $\text{[math]}$ 和横档 $\text{[math]}$ 构成，并且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从 $\text{[math]}$ 点观察．滑动横档 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的影子恰好是 $\text{[math]}$ ．然后，通过测量 $\text{[math]}$ 的长度，可计算出视线和水平面的夹角 $\text{[math]}$ （称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．
1. （1）在某次测量中， $\text{[math]}$ ，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值．
2. （2）在杆 $\text{[math]}$ 上有两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．当横档 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 位于 $\text{[math]}$ 时，记太阳高度角为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是锐角．证明： $\text{[math]}$ ．
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十一、单选题

24. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 为锐角三角形 B . $\text{[math]}$ 为直角三角形 C . $\text{[math]}$ 为钝角三角形 D . $\text{[math]}$ 的形状无法确定

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25. 湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底， $\text{[math]}$ 在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得 $\text{[math]}$ ，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（）（ $\text{[math]}$ ，精确到 $\text{[math]}$ ）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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26. 在锐角△ABC中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则a的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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27. 如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底 $\text{[math]}$ 在同一水平面内的两个测量基点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，现测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 点测得甲秀楼顶端 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，则甲秀楼的高度约为（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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十二、多选题

28. 某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有

A . 在水平地面上任意寻找两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别测量旗杆顶端的仰角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，再测量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间距离 B . 在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为 $\text{[math]}$ ，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ C . 在地面上任意寻找一点 $\text{[math]}$ ，测量旗杆顶端的仰角 $\text{[math]}$ ，再测量 $\text{[math]}$ 到旗杆底部的距离 D . 在旗杆的正前方 $\text{[math]}$ 处测得旗杆顶端的仰角 $\text{[math]}$ ，正对旗杆前行5m到达 $\text{[math]}$ 处，再次测量旗杆顶端的仰角 $\text{[math]}$

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29. 如图，为了测量障碍物两侧A ， B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（）

A . a ， b ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . a ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， b

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30. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．下面四个结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的外接圆半径是4 B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 一定是钝角三角形 D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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十三、填空题

31. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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32. 在△ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，设△ABC的面积为S ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则S的最大值为．

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33. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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十四、解答题

34. 在 $\text{[math]}$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c ，若b=2，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角B的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是锐角三角形，求 $\text{[math]}$ 面积的取值范围．
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35. $\text{[math]}$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .
1. （1）求A；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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十五、单选题

36. 在△ABC中，内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则△ABC周长的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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十六、多选题

37. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 有两个解 C . 若 $\text{[math]}$ 不是直角三角形，则一定有 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 是锐角三角形，则一定有 $\text{[math]}$

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十七、填空题

38. 海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点 $\text{[math]}$ 处测得塔顶 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，然后沿点 $\text{[math]}$ 向塔的正前方走了38m到达点 $\text{[math]}$ 处，此时测得塔顶 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，据此可估计海宝塔的高度约为m.（计算结果精确到0.1）

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十八、解答题

39. 在凸四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）若四边形 $\text{[math]}$ 有外接圆，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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十九、单选题

40. 已知 $\text{[math]}$ 是锐角三角形，内角A ， B ， C所对应的边分别为a ， b ， c ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二十、多选题

41. 已知 $\text{[math]}$ 的三个内角A ， B ， C的对边分别是a ， b ， c ，面积为 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积的最大值为 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 是锐角三角形，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ D . 若角 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为10

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〇、解答题

42. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的最小正周期及单调递减区间；
2. （2）已知锐角 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 边上的高的最大值．
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