一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)
二、填空题(本题有6题,每小题3分,共18分)
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12.
(2024九上·杭州期中)
一个不透明的布袋内只装有

个红球和1个黑球,这些球除颜色外其余都相同,随机摸出一个球是红球的概率为

, 则

的值为
.
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14.
(2024九上·杭州期中)
如图,已知等边

以

为旋转中心,按逆时针方向旋转

, 得到

, 若

, 等边三角形边长为1,则点

的运动路径长为
.

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15.
(2024九上·杭州期中)
如图,在边长为1个单位长度的小证方形组成的网格中,小正方形的顶点叫格点,格点A,B的连线与格点C.

的连线交于点

, 若经过点B,D,E作圆,则图中阴影部分的面积为
.

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16.
(2024九上·杭州期中)
如图,在半径为4的

中,CD为直径,

,

于点

, 点

为

上一动点,

于点

, 则弦AB的长度为
;当点

在

的运动过程中,线段FO的长度的最小值为
.

三、解答題(本题有8小题,共72分,解答需写出必要的文字说明演算步骤或证明过程)
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(1)
如图1,C、D也在格点上,连结AB、CD相交于点

, 则

.
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(2)
如图2,仅用无刻度的直尺在线段AB上作点

, 使

.
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18.
(2024九上·杭州期中)
某初中九年级开展数学课题学习,设置了"视力的变化","哪种方式更合算","设计遮阳棚"三种课题供学生选择,每名同学只选择一项课题进行学习根据九(1)班学生的选择情况,绘制了如下表格:
课题 | 选择次数 | 频率 |
A“视力的变化” | 4 | a |
B“哪种方式更合算” | b | 0.4 |
C“设计遮阳棚” | 20 | 0.5 |
请综合上述信息回答下列问题:
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(1)

;

;
-
(2)
某班有3男1女四名学生选择了"视力的变化"课题,老师决定从这四人中随机选取两人作为组长,这两人正好是1男1女的概率是多少?请你用列表或画树状图的方法说明理由.
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20.
(2024九上·杭州期中)
十一黄金周期间,某商场销售一种成本为每件60元的服装,经试销发现,销售量

(件)与销售单价

(元)符合一次函数

.
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(1)
销售单价定为多少元时,该商场获得的利润恰为500元?
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(2)
设该商场获得利润为

元,试写出利润

与销售单价

之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少?
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(1)
求证:

;
-
(2)
若

, 求AB的长.
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(1)
若函数经过点(

),求二次函数的解析式和顶点坐标.
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(2)
当

时,求该二次函数的图象与

轴的交点个数.
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(3)
设

是该函数图象上的两点,其中

, 当

时,都有

, 求

的取值范围.
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23.
(2024九上·杭州期中)
阅读素材,完成任务
如何确定灌溉方案 |
素材一 | 图1是一种 自动旋转农业灌溉摇臂喷枪,点 为喷水口,喷水的区域覆盖了整个圆面。图2喷出的水柱形成的图象是以水平方向为 轴,喷枪底座中心为原点建立直角坐标系,水柱喷出的外围路径可以近似抛物线 和 的一部分,量得 . | 
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素材二 | 现有一块四边形CDEF农田,它的四个顶点C、D、E、F恰好都在 上,如图3, , 如果喷水口上升时,水柱喷出的形状与原来相同,现要求喷水的区域覆盖整块四边形CDEF农田. | 
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问题解决(利用素材1完成任务1和任务2,结合素材2完成任务3) |
任务1 | 确定喷枪的高度 | 求OP的长 |
任务2 | 拟定方案1 | 一种高为1.5m的农作物,为了能灌溉到所有农作物的顶端,求该农作物种植的最大半径. |
任务3 | 拟定方案2 | 要使喷水的区域覆盖整块四边形CDEF农田喷水口P应至少上升多少米 |
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(2)
如图2,过点B作

分别交AC、AD于点M、N,交

于点

, 连接AF,求证:

.
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(3)
在(2)的条件下,若

时,求

的值.