如图

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1. (2021·陕西) 如图
1. （1）问题提出
  如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，E是 $\text{[math]}$ 的中点，点F在 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ 求四边形 $\text{[math]}$ 的面积.（结果保留根号）
3. （2）问题解决
  某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园 $\text{[math]}$ 按设计要求，要在五边形河畔公园 $\text{[math]}$ 内挖一个四边形人工湖 $\text{[math]}$ ，使点O、P、M、N分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .已知五边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖 $\text{[math]}$ ？若存在，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最小值及这时点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离；若不存在，请说明理由.

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