1. (2021八下·城阳期末) 如图

（问题提出）：将一个边长为 （ ≥2）的正方形的四条边 等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形的个数（此处长方形包括正方形）和正方形个数分别是多少？

（问题探究）：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律．

探究一：将一个边长为2的正方形的四条边分别 2 等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方形的个数（此处长方形包括正方形）和正方形个数分别是多少？

如图1，从上往下，共有2行，我们先研究长方形（此处长方形包括正方形）的个数：

①第一行有宽边长为1，底长为1～2的长方形，共有2+1=3个；

②第二行有宽边长为1，底长为1～2的长方形，共有2+1=3个；

为了便于归纳分析，我们把长方形下面的底在第二行的所有长方形均算作第二行的长方形，以下各行类同第二行．因此底第二行还包括宽边长为2，底长为1～2 的长方形，共有2+1=3个．

即：第二行长方形共有 2×3个．

所以如图1，长方形共有 2×3+3=9=（2+1）²

我们再研究正方形的个数：

分析：边长为1的正方形共有2²个，边长为2的正方形共有1²个，

所以：如图 1，正方形共有2² + 1² = 5 = ×2×3×5 个．

探究二：将一个边长为3的正方形的四条边分别3等分，连接各边对应的等分点，则该正方形被剖分的网格中的长方（此处长方形包括正方形）的个数和正方形个数分别是多少？

如图2，从上往下，共有3行，我们先研究长方形的个数：

①第一行有宽长为1底长为1～3 的长方形，共有3+2+1=6个；

②第二行有宽边长为1，底长为 1～3的长方形，共有3+2+1=6个；

底在第二行还包括宽边长为2，底长为1～3 的长方形，共有3+2+1=6个．

即：第二行长方形共有2×6个．

③第三行有宽边长为1，底长为1～3 的长方形，共有3+2+1=6个；

底在第三行还包括宽边长为 2，底长为 1～3 的长方形，共有 3+2+1=6个．

底在第三行还包括宽边长为 3，底长为 1～3 的长方形，共有 3+2+1=6个．

即：第三行长方形共有 3×6个．

所以如图 2，长方形共有 3×6+2×6+6=（3+2+1）×6=（3+2+1）² ．

我们再研究正方形的个数： 分析：边长为1的正方形共有 3²个，边长为 2 的正方形共有 2²个，边长为 3 的正方形共有 1²个．

所以：如图2，正方形共有 3² + 2² + 1² =14 = ×3×4×7 个．

探究三：将一个边长为 5 的正方形的四条边分别 5 等分，连接各边对应的等分点，     则该正方形被剖分的网格中的长方形（此处长方形包括正方形）的个数和正方形个数分别是多少？

1. （1） 如图 3，从上往下，共有 5 行，我们先研究长方形的个数：

   ①第一行有宽边长为 1，底长为 1～5 的长方形，共有 5+4+3+2+1=15个；

   ②第二行有宽边长为 1，底长为 1～5 的长方形，共有 5+4+3+2+1=15个； 底在第二行还包括宽边长为 2，底长为 1～5 的长方形，共有 5+4+3+2+1=15个． 即：第二行长方形共有2×15个．

   ③模仿上面的探究，第三行长方形总共有 3×15 个．

   ④按照上边的规律，第四行长方形总共有个．

   ⑤按照上边的规律，第五行长方形总共有个．

   所以，如图 3，长方形总共有 个．

   我们再研究正方形的个数：

   分析：边长为 1 的正方形共有 5²个，边长为 2 的正方形共有 4²个，边长为 3 的正方形共有 3²个，边长 为 4 的正方形共有 2²个，边长 为 5 的正方形共有1²个．

   所以：如图 3，正方形共有5 ²+ 4² + 3² + 2² + 1² = ×个．（仿照前面的探究，写成三个整数相乘的形式）

3. （2） （问题解决）将一个边长为 （ ≥2）的正方形的四条边  等分，连接各边对应的等分点，根据上边的规律，得出该正方形被剖分的网格中的长方形（此处矩形包括正方形）的个数是和正方形个数分别是 ×．（用含 的代数式表示）

   （问题应用）将一个边长为 （ ≥2）的正方形的四条边 12 等分，连接各边对应的等分点，若得出该正方形被剖分的网格中的长方形的（此处长方形包括正方形）个数

   是 个，正方形个数是 个．