1. (2021九上·杭锦后旗月考) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．

1. （1） 求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
3. （2） 如图1，过点P作PE⊥y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值；
5. （3） 如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．