1. (2022·青岛模拟) 定义：

如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数n=a²-b²（a，b为正整数，且a＞b），则称正整数n为“智慧数”．例如：∵5=3²-2² ， ∴5是“智慧数”．根据定义，直接写出最小的“智慧数”是．

提出问题：

如果按照从小到大的顺序排列起来，那么第2022个“智慧数”是哪位数？

探究问题：

要解答这个问题，我们先要明白“智慧数”产生的规律．

探究1：“智慧数”一定是什么数？

假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使n=a²-b²（a，b为正整数，且a＞b）．

情况1：a、b均为奇数，或均为偶数．

分析：

∵a、b均为奇数，或均为偶数

∴（a+b）、（a-b）均为偶数

此时不妨设（a+b）=2c，（a-b）=2d

又∵n=a²-b²=（a+b）（a-b）=4cd

∴a²-b²为4的倍数，即n为4的倍数．

情况2：a、b为一奇数、一偶数．

分析：

∵a、b为一奇数、一偶数

∴（a+b）、（a-b）均为奇数

此时不妨设（a+b）=2c1，（a-b）=2d1

又∵n=a²-b²=（a+b）（a-b）=4cd2c2d1

∴a²-b²为奇数，即n为奇数．

综上所述：“智慧数”为奇数或4的倍数．

探究2：所有奇数和4的倍数都一定“智慧数”吗？

我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．

先举例几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①--⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这“智慧数”分成两类．

情况1：n是奇数
	分析n=a2-b2	结论
①		3是“智慧数”
②		5是“智慧数”
③		7是“智慧数”
④		9是“智慧数”
……	……	……
情况2：n是4的倍数
	分析n=a2-b2	结论
⑤		8是“智慧数”
⑥		12是“智慧数”
⑦		16是“智慧数”
⑧		20是“智慧数”
……	……	……

情况1：n是奇数

观察①②③④中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是奇数，且a、b的值均为连续的正整数．

猜想：所有奇数都是“智慧数”．

验证：设a=k+1，b=k（k≥1，且k为整数）

∵a²-b²=（k+1）²-k²=2k+1

∴2k+1是“智慧数”

又∵k≥1

∴2k+1≥3，即2k+1表示所有奇数（1除外）

∴所有奇数（1除外）都是“智慧数”

应用：

请直接填空：∵11= 2-2   ∴11是“智慧数”

情况2：n是4的倍数．

观察⑤⑥⑦⑧中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是4的倍数，且a、b的差都为2．

猜想：所有4的倍数都是“智慧数”．

验证：设a=k+2，b=k（k≥1，且k为整数）

∵a²-b²=（k+2）²-k²=4k+4

∴4k+4是“智慧数”

又∵k≥1

∴4k+4≥8，即4k+4表示所有4的倍数（4除外）

∴所有4的倍数（4除外）都是“智慧数”

应用：

请直接填空：∵24= 2- 2  ∴24“智慧数”

归纳“智慧数”的发现模型：

⑴对所有的正整数而言，除了1和4之外，其余的奇数以及4的倍数是智慧数．

⑵当1≤n≤4时，只有1个“智慧数”；

当n≥5时，如果把从5开始的正整数按照从小到大的顺序，依次每个连续正整数分成一组（注：组与组之间的数字互不重复），则每组有个“智慧数”，且第个数不是“智慧数”．

问题解决：

直接写出：如果按照从小到大的顺序排列起来，那么第2022个“智慧数”是．

实际应用：

若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是12cm，则这个直角三角形纸片的周长最大是cm．