2023-2024学年北师大版数学八年级上册 7.1为什么要...

更新时间：2023-12-04 浏览次数：56 类型：同步测试

一、单选题

1. (2023八上·太原月考) 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.在验证过程中它体现的数学思想是（）

A . 函数思想 B . 数形结合思想 C . 分类思想 D . 方程思想

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2. (2022八上·安次期末) 嘉淇在解决问题时，给出的推理过程如下：
如图，点D在 $\text{[math]}$ 上，点E在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
求证： $\text{[math]}$ .
证明：在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， ∴ $\text{[math]}$ .
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∴ $\text{[math]}$ ”和“∴ $\text{[math]}$ ”之间作补充，下列说法正确的是（）

A . 嘉淇的推理严谨，不需要补充 B . 应补充“∴ $\text{[math]}$ ” C . 应补充“∴ $\text{[math]}$ ” D . 应补充“∴ $\text{[math]}$ ”

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3. (2022八上·丰都县期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中，点D为 $\text{[math]}$ 边上一点，给出如下关系：① $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 于D；③D为 $\text{[math]}$ 中点.甲说：如果①②同时成立，可证明 $\text{[math]}$ ；乙说：如果②③同时成立，可证明 $\text{[math]}$ ；丙说：如果①③同时成立，可证明 $\text{[math]}$ .则正确的说法是（）

A . 甲、乙正确，丙错误 B . 甲正确，乙、丙错误 C . 乙正确，甲、丙错误 D . 甲、乙、丙都正确

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4. (2021七上·营山期中) 法国数学家柯西于1813年在拉格朗日、高斯的基础上彻底证明了《费马多边形数定理》，其主要突破在“五边形数”的证明上，如图为前几个“五边形数”的对应图形，请据此推断，第15个“五边形数”应该为（），第2021个“五边形数”的奇偶性为（）

A . 330，奇数 B . 590，偶数 C . 330，偶数 D . 590，奇数

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5. (2024七下·遵化月考) 小明和小亮在研究一道数学题，如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为E、D，G在 $\text{[math]}$ 上．
小明说：“如果 $\text{[math]}$ ，则能得到 $\text{[math]}$ ”；
小亮说：“连接 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ，则能得到 $\text{[math]}$ ”．
则下列判断正确的是（）

A . 小明说法正确，小亮说法错误 B . 小明说法正确，小亮说法正确 C . 小明说法错误，小亮说法正确 D . 小明说法错误，小亮说法错误

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6. (2022八上·科尔沁期末) 在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）

A . 过C作EF $\text{[math]}$ AB B . 过AB上一点D作DE $\text{[math]}$ BC，DF $\text{[math]}$ AC C . 延长AC到F，过C作CE $\text{[math]}$ AB D . 作CD⊥AB于点D

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7. 历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE，EB在一条直线上．证明中用到的面积相等的关系是（）

A . S_△EDA=S_△CEB B . S_△EDA+S_△CEB=S_△CDE C . S_{四边形CDAE}=S_{四边形CDEB} D . S_△EDA+S_△CDE +S_△CEB=S_{四边形ABCD}

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二、填空题

8. (2023七上·鄞州月考) 1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 $\text{[math]}$ 再加 $\text{[math]}$ ；如果它是偶数，则对它除以 $\text{[math]}$ 如此循环，最终都能够得到 $\text{[math]}$ 这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想” $\text{[math]}$ 虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：正整数 $\text{[math]}$ 经过下面 $\text{[math]}$ 步运算可得到 $\text{[math]}$ ，即： $\text{[math]}$ 则正整数 $\text{[math]}$ 经过步运算可得到 $\text{[math]}$ ．那么正整数经过 $\text{[math]}$ 步运算可得到 $\text{[math]}$ ．

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三、综合题

9. (2023七下·鞍山期末) 如图 $\text{[math]}$ ，在一张白纸上画直线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 外；如图 $\text{[math]}$ 所示，翻折白纸使直线 $\text{[math]}$ 重合，折痕经过点 $\text{[math]}$ ，记折痕为直线 $\text{[math]}$ ；再次如图 $\text{[math]}$ 所示，翻折白纸，使图 $\text{[math]}$ 中的直线 $\text{[math]}$ 重合，经过点 $\text{[math]}$ 的新的折痕记为直线 $\text{[math]}$ ；如图 $\text{[math]}$ ，请根据以上操作说明直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的位置关系，并证明你的结论．

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10. (2023七下·普兰店期中) 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线 $\text{[math]}$ 射到平面镜 $\text{[math]}$ 上，被 $\text{[math]}$ 反射后的光线为 $\text{[math]}$ ，则入射光线 $\text{[math]}$ ，反射光线 $\text{[math]}$ 与平面镜 $\text{[math]}$ 所夹的锐角 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图2，一束光线 $\text{[math]}$ 射到平面镜 $\text{[math]}$ 上，被 $\text{[math]}$ 反射到平面镜 $\text{[math]}$ 上，又被 $\text{[math]}$ 反射，若被 $\text{[math]}$ 反射出的光线 $\text{[math]}$ 与光线 $\text{[math]}$ 平行，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
2. （2）图2中，当被 $\text{[math]}$ 反射出的光线 $\text{[math]}$ 与光线 $\text{[math]}$ 平行时，不论 $\text{[math]}$ 如何变化， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 总具有一定的数量关系，请你探究 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；
3. （3）图2中，由（1）、（2），请你探究：当任何射到平面镜 $\text{[math]}$ 上的光线 $\text{[math]}$ ，经过平面镜 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的两次反射后，入射光线 $\text{[math]}$ 与反射光线 $\text{[math]}$ 平行，求两平面镜 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ 的度数，并说明理由．
4. （4）如图3，一束光线 $\text{[math]}$ 射到平面镜 $\text{[math]}$ 上，被 $\text{[math]}$ 反射到平面镜 $\text{[math]}$ 上，又被 $\text{[math]}$ 反射，若被 $\text{[math]}$ 反射出的光线 $\text{[math]}$ 与光线 $\text{[math]}$ 垂直，则 $\text{[math]}$ 等于多少度？（友情提示：三角形内角和等于 $\text{[math]}$ ）
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11. (2023七下·郑州期中) 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
1. （1）如图，一束光线m射到平面镜 $\text{[math]}$ 上，被 $\text{[math]}$ 反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
2. （2）在（1）中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
3. （3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ 时，可以使任何射到平面镜 $\text{[math]}$ 上的光线m，经过平面镜 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．请说明理由．
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12. (2023七下·海曙期中) 数学探究活动中，阿青同学为了验证：长条纸片上下边沿 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否平行，把纸片沿着 $\text{[math]}$ 折叠（如图1），并用量角器测出 $\text{[math]}$ 的度数；
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .你认为阿青同学的做法正确吗？㳻说明理由；
2. （2）在（1）的条件下，阿青同学在纸条下 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ （如图2），连结 $\text{[math]}$ 并沿着 $\text{[math]}$ 折叠纸片使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
  ①当点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 之间时，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；
  ②当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的运动过程中， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明.（选其中一种情况证明）
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13. (2022八上·西城期末) 在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸多边形，并记该格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，多边形边上的格点数为L．
1. （1）对于图中的五个凸多边形，补全以下表格：
  多边形
  面积S
  内部格点数N
  边上格点数L
  $\text{[math]}$
  Ⅰ
  Ⅱ
  7
  4
  8
  8
  Ⅲ
  Ⅳ
  9
  5
  10
  10
  Ⅴ
  $\text{[math]}$
  11
  11
  $\text{[math]}$
2. （2）借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：S与 $\text{[math]}$ 的数量关系可用等式表示为；
3. （3）已知格点长方形ABCD，设其边长 $\text{[math]}$ ，其中m，n为正整数．请以格点长方形 $\text{[math]}$ 为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式．
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14. (2022八上·大安期末)
1. （1）计算并观察下列各式：
  第1个： $\text{[math]}$ ；
  第2个： $\text{[math]}$ ；
  第3个： $\text{[math]}$ ；
  ……
  这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
2. （2）猜想：若n为大于1的正整数，则 $\text{[math]}$ ；
3. （3）利用（2）的猜想计算： $\text{[math]}$ ．
4. （4）拓广与应用： $\text{[math]}$ ．
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15. (2022八上·通州期中) 根据学习“数与式”的经验，通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．以下是探究过程，请补充完整．
1. （1）具体运算，发现规律．
  特例1． $\text{[math]}$ ．特例2． $\text{[math]}$ ，特例3． $\text{[math]}$ ，特例4． $\text{[math]}$ ，
  特例5．．
2. （2）观察、归纳，得出猜想．
  如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：．
3. （3）证明你的猜想．
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16. (2021八上·巢湖期末) 观察下列图形与等式的关系：
按照以上图形与等式的规律，解答下列问题：
1. （1）写出第5个等式：．
2. （2）写出你猜想的第n个等式： ▲ ．（用含n的等式表示），并证明（已知：1+2+3+……+n＝ $\text{[math]}$ ）．
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17. (2022七下·镇江期末) 【阅读】在证明命题“如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ”时，小明的证明方法如下：
证明：∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ > ▲ . ∴ $\text{[math]}$ ▲ .
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ▲ . ∴ $\text{[math]}$ ▲ .
∴ $\text{[math]}$ .
【问题解决】
1. （1）请将上面的证明过程填写完整；
2. （2）有以下几个条件：① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ ， ④ $\text{[math]}$ .请从中选择两个作为已知条件，得出结论 $\text{[math]}$ .你选择的条件序号是，并给出证明过程 .
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18. (2022·青岛模拟) 定义：

如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数n=a²-b²（a，b为正整数，且a＞b），则称正整数n为“智慧数”．例如：∵5=3²-2² ， ∴5是“智慧数”．根据定义，直接写出最小的“智慧数”是．

提出问题：

如果按照从小到大的顺序排列起来，那么第2022个“智慧数”是哪位数？

探究问题：

要解答这个问题，我们先要明白“智慧数”产生的规律．

探究1：“智慧数”一定是什么数？

假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使n=a²-b²（a，b为正整数，且a＞b）．

情况1：a、b均为奇数，或均为偶数．

分析：

∵a、b均为奇数，或均为偶数

∴（a+b）、（a-b）均为偶数

此时不妨设（a+b）=2c，（a-b）=2d

又∵n=a²-b²=（a+b）（a-b）=4cd

∴a²-b²为4的倍数，即n为4的倍数．

情况2：a、b为一奇数、一偶数．

分析：

∵a、b为一奇数、一偶数

∴（a+b）、（a-b）均为奇数

此时不妨设（a+b）=2c $\text{[math]}$ 1，（a-b）=2d $\text{[math]}$ 1

又∵n=a²-b²=（a+b）（a-b）=4cd $\text{[math]}$ 2c $\text{[math]}$ 2d $\text{[math]}$ 1

∴a²-b²为奇数，即n为奇数．

综上所述：“智慧数”为奇数或4的倍数．

探究2：所有奇数和4的倍数都一定“智慧数”吗？

我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．

先举例几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①--⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这“智慧数”分成两类．

情况1：n是奇数
	分析n=a²-b²	结论
①	$\text{[math]}$	3是“智慧数”
②	$\text{[math]}$	5是“智慧数”
③	$\text{[math]}$	7是“智慧数”
④	$\text{[math]}$	9是“智慧数”
……	……	……
情况2：n是4的倍数
	分析n=a²-b²	结论
⑤	$\text{[math]}$	8是“智慧数”
⑥	$\text{[math]}$	12是“智慧数”
⑦	$\text{[math]}$	16是“智慧数”
⑧	$\text{[math]}$	20是“智慧数”
……	……	……

情况1：n是奇数

观察①②③④中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是奇数，且a、b的值均为连续的正整数．

猜想：所有奇数都是“智慧数”．

验证：设a=k+1，b=k（k≥1，且k为整数）

∵a²-b²=（k+1）²-k²=2k+1

∴2k+1是“智慧数”

又∵k≥1

∴2k+1≥3，即2k+1表示所有奇数（1除外）

∴所有奇数（1除外）都是“智慧数”

应用：

请直接填空：∵11= 2-2 ∴11是“智慧数”

情况2：n是4的倍数．

观察⑤⑥⑦⑧中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是4的倍数，且a、b的差都为2．

猜想：所有4的倍数都是“智慧数”．

验证：设a=k+2，b=k（k≥1，且k为整数）

∵a²-b²=（k+2）²-k²=4k+4

∴4k+4是“智慧数”

又∵k≥1

∴4k+4≥8，即4k+4表示所有4的倍数（4除外）

∴所有4的倍数（4除外）都是“智慧数”

应用：

请直接填空：∵24= 2- 2 ∴24“智慧数”

归纳“智慧数”的发现模型：

⑴对所有的正整数而言，除了1和4之外，其余的奇数以及4的倍数是智慧数．

⑵当1≤n≤4时，只有1个“智慧数”；

当n≥5时，如果把从5开始的正整数按照从小到大的顺序，依次每个连续正整数分成一组（注：组与组之间的数字互不重复），则每组有个“智慧数”，且第个数不是“智慧数”．

问题解决：

直接写出：如果按照从小到大的顺序排列起来，那么第2022个“智慧数”是．

实际应用：

若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是12cm，则这个直角三角形纸片的周长最大是cm．

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19. 勾股定理神秘而美妙，它的验证方法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②所示摆放时，都可以用“面积法”来验证，下面是小聪利用图①验证勾股定理的过程：

将两个全等的直角三角形按如图①所示摆放，其中∠DAB=90°，试说明：a²+b²=c²

解：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a

因为S_{四边形ADCB}= S_△ADB+S_△ABC= $\text{[math]}$ b²+ $\text{[math]}$ ab，

S_{四边形BADCB}=S_△ADB+S_△DCB= $\text{[math]}$ c²+ $\text{[math]}$ a(b-a)，

所以 $\text{[math]}$ b²+ $\text{[math]}$ ab= $\text{[math]}$ c²+ $\text{[math]}$ a(b-a)，

所以a²+b²=c²

请参照上述验证方法，利用图②说明a²+b°²=c²

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20. (2020八上·常熟月考) 阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法，例如，在△ABC中，AB>AC（如图），怎样证明∠C>∠B呢？
分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB>AC，所以点C落在AB上的点C’处，即AC=AC’，据以上操作，易证明△ACD $\text{[math]}$ AC’D，所以∠AC’D=∠C，又因为∠AC’D>∠B，所以∠C>∠B.
感悟与应用：
1. （1）如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
2. （2）如图（3），在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC=4，AD=2，CD=BC=3，
  ①求证：∠B+∠D=180°；
  ②求AB的长.
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