1.
(2022·昌吉二模)
“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流长,某些折纸活动蕴含丰富的数学内容,例如:用一张圆形纸片,按如下步骤折纸(如下图1)
步骤1:设圆心是E,在圆内异于圆心处取一点,标记为F;
步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过点F;
步骤3:把纸片展开,并留下一道折痕;
步骤4:不停重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕(如图2).
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片,设定点F到圆心E的距离为2,按上述方法折纸.
-
(1)
以点F,E所在的直线为x轴,线段EF的中垂线为y轴,建立坐标系,求折痕所围成的椭圆C(即图1中M点的轨迹)的标准方程.
-
-
(2)
如图3,若直线m:
与椭圆C相切于点P,斜率为
的直线n与椭圆C分别交于点A,B(异于点P),与直线m交于点Q.证明:
,
,
成等比数列.
-