1. (2021八上·宝安期末)            

1. （1） 【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边△ABC，D是△ABC外一点，连接AD、CD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．该小组在研究如图2中△OMN≌△OPQ中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程．

   解：如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE．

   ∵△ABC、△DCE是等边三角形，

   ∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°．

   ∴∠BCA+∠ACD＝                  ▲                   +∠ACD，

   ∴∠BCD＝∠ACE，

   ∴                  ▲                   ，

   ∴AE＝BD＝5．

   ∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，

   ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°．

   ∵AD＝3，

   ∴CD＝DE＝                  ▲                   ．

3. （2） 【尝试应用】如图4，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝ ， BC＝4，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长．
5. （3） 【拓展创新】如图5，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC为边向外作等腰△BCD，BD＝CD，∠BDC＝120°，连接AD，求AD的最大值．