如图，圆柱上、下底面圆的圆心分别为O，，矩形为该圆柱的轴截面，，点E在底面圆周上，点G为的中点.

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1. (2022高二上·辽宁月考) 如图，圆柱上、下底面圆的圆心分别为O， $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 为该圆柱的轴截面， $\text{[math]}$ ，点E在底面圆周上，点G为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，试问线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点F，使得 $\text{[math]}$ ?若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由.
3. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的正弦值的最大值.

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