如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接， .

1. (2022九上·嘉兴期中) 如图1，已知抛物线 $\text{[math]}$ 经过原点 $\text{[math]}$ ，它的对称轴是直线 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 从抛物线的顶点 $\text{[math]}$ 出发，在对称轴上以每秒 $\text{[math]}$ 个单位的速度向上运动，设动点 $\text{[math]}$ 运动的时间为 $\text{[math]}$ 秒，连接 $\text{[math]}$ 并延长交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线的函数解析式；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，求 $\text{[math]}$ 的值；
5. （3）如图2， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的外接圆，在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中，点 $\text{[math]}$ 也随之运动变化，请你探究：在 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 经过的路径长度.