在中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接.

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1. (2022九上·开州期中) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为 $\text{[math]}$ 边上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕着D点逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）如图1， $\text{[math]}$ ，点D恰好为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点G，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度；
3. （2）如图2， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F，连接 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 延长线上有一点P， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
5. （3）如图3， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F，且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点M为线段 $\text{[math]}$ 上一点，点N为线段 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点K为 $\text{[math]}$ 延长线上一点，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折至 $\text{[math]}$ 所在平面内得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，在M，N运动过程中，当 $\text{[math]}$ 取得最小值，且 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

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