已知点为抛物线的焦点，定点（其中常数满足），动点在上，且的最小值为．

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1. (2023高二上·南山期末) 已知点 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，定点 $\text{[math]}$ （其中常数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ），动点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
3. （2）过 $\text{[math]}$ 作两条斜率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
  （i）当 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值；
  （ii）当 $\text{[math]}$ 时，证明：直线 $\text{[math]}$ 恒过定点．

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