2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 3.3 ...

更新时间：2023-08-06 浏览次数：147 类型：同步测试

一、选择题

1. (2023高二上·定州期末) 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高二上·大兴期末) 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点到准线的距离是（）

A . 1 B . 2 C . 4 D . 8

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3. (2023高二上·信阳期末) 焦点坐标为 $\text{[math]}$ 的抛物线的标准方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2022高二上·舟山期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 到焦点 $\text{[math]}$ 的距离是2，则该点到 $\text{[math]}$ 轴的距离为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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5. (2023高二上·金华期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，过C上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若 $\text{[math]}$ 是边长为4的正三角形，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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6. (2023高二上·信阳期末) 如图，过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线l于点C，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 18 D . 25

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7. (2023高二上·西湖期中) 已知抛物线C： $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ ，过F的直线与C交于M，N两点，准线与x轴的交点为A，当 $\text{[math]}$ 时，直线MN的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题

8. (2022高二上·浙江期中) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，过原点 $\text{[math]}$ 的动直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于另一点 $\text{[math]}$ ，交抛物线的准线于点 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 中点，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 存在直线 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 面积的最小值为2

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9. (2022高二上·上饶月考) 已知抛物线C： $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则以下说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 为定值 B . AB中点的轨迹方程为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 最小值为16 D . O在以AB为直径的圆外

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10. (2023高二上·电白期末) 下列关于抛物线 $\text{[math]}$ 的说法正确的是（）

A . 焦点在y轴上 B . 焦点在x轴上 C . 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D . 由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为 $\text{[math]}$

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11. (2023高二上·衢州期末) 已知斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 经过抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ ，且与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，则下列说法正确的是（）

A . 对任意实数 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ B . 存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离是3

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12. (2022高二上·北海期末) 点P是抛物线 $\text{[math]}$ 上一动点，若点 $\text{[math]}$ ，记点P到直线 $\text{[math]}$ 的距离为d，则 $\text{[math]}$ 的值可以取（）

A . 7 B . $\text{[math]}$ C . 5 D . $\text{[math]}$

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13. (2022高二上·浙江月考) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 是该抛物线上两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 为焦点，则下列结论正确的是（）

A . 若直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的中点到准线的距离为1 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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14. (2022高二上·舟山期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，则（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则OA⊥OB D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ OAB面积最小值为 $\text{[math]}$

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三、填空题

15. (2023高二上·榆林期末) 已知点 $\text{[math]}$ 为抛物线C： $\text{[math]}$ 上的点，且点P到抛物线C的准线的距离为3，则 $\text{[math]}$ .

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16. (2023高二上·汉中期末) 在平面直角坐标系xOy中，若抛物线 $\text{[math]}$ 上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标x＝．

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17. (2022高二上·深圳月考) 抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的焦点坐标是．

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18. (2023高二上·汕尾期末) 已知倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ ，且与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在第一象限），若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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19. (2023高二上·顺义期末) 已知点M在抛物线 $\text{[math]}$ 上，F是抛物线的焦点，直线 $\text{[math]}$ 交x轴于点N，若M为线段 $\text{[math]}$ 的中点，则焦点F坐标是， $\text{[math]}$ ．

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20. (2022高二上·湖北月考) 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点），且点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率为.

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四、解答题

21. (2023高二上·大兴期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F．
1. （1）求F的坐标和抛物线C的准线方程；
2. （2）过点F的直线l与抛物线C交于两个不同点A，B，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 $\text{[math]}$ 的长．
  条件①：直线l的斜率为1；
  条件②：线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ．
  注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
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22. (2023高二上·南昌期中) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，其准线方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）不过原点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于不同的两点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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23. (2023高二上·房山期末) 已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是y轴，焦点F在y轴正半轴，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线C的标准方程；
2. （2）若直线l经过焦点F，求直线l的方程
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24. (2023高二上·长春期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点到顶点的距离为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点，设直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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25. (2023高二上·南山期末) 已知点 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，定点 $\text{[math]}$ （其中常数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ），动点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过 $\text{[math]}$ 作两条斜率分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
  （i）当 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值；
  （ii）当 $\text{[math]}$ 时，证明：直线 $\text{[math]}$ 恒过定点．
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26. (2023高二上·大连期末) 已知点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点到准线的距离；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 面积的最小值．
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