如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称.点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N.

1. (2023·汨罗模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线 $\text{[math]}$ 过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称.点P是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线 $\text{[math]}$ 于点N.
1. （1）求抛物线的解析式；
3. （2）当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求点P的坐标；
5. （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在；说明理由

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1. (2023·汨罗模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称.点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N.