如图如图①，已知矩形， .点E从点B出发，沿边运动至点C停止.以为直径作，与对角线交于点F，连接， .

1. (2023九下·沭阳月考) 如图
如图①，已知矩形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点E从点B出发，沿边 $\text{[math]}$ 运动至点C停止.以 $\text{[math]}$ 为直径作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与对角线 $\text{[math]}$ 交于点F，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）如图②，当E运动至终点C时，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （2）试探究：在点E运动的过程中， $\text{[math]}$ 的值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
5. （3）如图③，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边构造矩形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ，并直接写出在这一运动过程中，点G所经过的路径长.