设为正项数列的前项和，满足.

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1. (2023高三下·温州月考) 设 $\text{[math]}$ 为正项数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
3. （2）若不等式 $\text{[math]}$ 对任意正整数 $\text{[math]}$ 都成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
5. （3）设 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数），求证： $\text{[math]}$ .

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