专题02 数列-【大题精做】冲刺2023年高考大题突破训练-在线组卷

1. (2023·金华模拟) 在等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的前n项和， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．

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2. (2023·绍兴模拟) 记 $\text{[math]}$ 为正项数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项积，且 $\text{[math]}$ .

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）证明： $\text{[math]}$ .

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3. (2023·宁波模拟) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．

（1）求首项 $\text{[math]}$ 的值及 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）设 $\text{[math]}$ ，求满足 $\text{[math]}$ 的最大正整数n的值．

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4. (2023·嘉兴模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是首项为2，公差为3的等差数列，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .

（1）证明 $\text{[math]}$ 是等比数列，并求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中有公共项，即存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .

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5. (2023·虹口模拟) 记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为正整数）.

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求正整数 $\text{[math]}$ 的值.

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6. (2023·茂名模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ 不超过240，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

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7. (2023·浦东模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 是首项为9，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值，并指出 $\text{[math]}$ 取最大值时 $\text{[math]}$ 的取值．

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8. (2023·静安模拟) 已知各项均为正数的数列{ $\text{[math]}$ }满足 $\text{[math]}$ （正整数 $\text{[math]}$

（1）求证：数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；
（2）求数列{ $\text{[math]}$ }的前n项和 $\text{[math]}$ .

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9. (2023·遂宁模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 是公差为2的等差数列， $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 是公比大于0的等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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10. (2023·温州模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是首项为1的等差数列，公差 $\text{[math]}$ 是首项为2的等比数列， $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\text{[math]}$ 的第 $\text{[math]}$ 项 $\text{[math]}$ ，满足______（在①②中任选一个条件）， $\text{[math]}$ ，则将其去掉，数列 $\text{[math]}$ 剩余的各项按原顺序组成一个新的数列 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的前20项和 $\text{[math]}$ ．
① $\text{[math]}$ ② $\text{[math]}$ ．

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11. (2023·杭州模拟) 设公差不为0的等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．

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12. (2023·宜宾模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和， $\text{[math]}$ ．

条件①： $\text{[math]}$ 是公差为2的等差数列；条件②： $\text{[math]}$ ．

从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．

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13. (2023·红河模拟) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的公差 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且____．

在① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答下列问题．

注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．

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14. (2023·蚌埠模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）设 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

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15. (2024高三上·绵阳高考模拟) 已知各项都是正数的数列 $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式.
（2）记 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和， $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和.当 $\text{[math]}$ 时，试比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小.

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16. (2023·深圳模拟) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，其公比 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，其公比 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

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17. (2023·吉林模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并判断1024是数列中的第几项；
（2）求 $\text{[math]}$ ．

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18. (2023·桂林模拟) 从①前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．

在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， ____，其中 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）若 $\text{[math]}$ 成等比数列，其中 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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19. (2023·呼和浩特模拟) 给出以下条件：① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列；② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列；③ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．

已知单调递增的等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， ____．

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）

（1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）令 $\text{[math]}$ 是以1为首项，2为公比的等比数列，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．

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20. (2023·抚顺模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和， $\text{[math]}$ 是等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．

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21. (2024高三下·柳州月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）记 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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22. (2022·南阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，证明： $\text{[math]}$ ．

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23. (2023·金华模拟) 记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，已知 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）令 $\text{[math]}$ ，记数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 除以3的余数.

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24. (2023·邯郸模拟) 设数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．

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25. (2023·张家界模拟) 数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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26. (2023·邵阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）已知 $\text{[math]}$ ，记数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

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27. (2023·唐山模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ ；
（2）令 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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28. (2023·白山模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）已知 $\text{[math]}$ 数列 $\text{[math]}$ 的前20项和.

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29. (2023·湖北模拟) 设数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证：数列 $\text{[math]}$ 是等差数列；
（2）设数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．

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30. (2023高三下·黔东南模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）已知 $\text{[math]}$ 求数列 $\text{[math]}$ 的前20项和．

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31. (2023·江门模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）求数列 $\text{[math]}$ 是通项公式；
（2）求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ .

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32. (2023高三下·温州月考) 设 $\text{[math]}$ 为正项数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，满足 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）若不等式 $\text{[math]}$ 对任意正整数 $\text{[math]}$ 都成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（3）设 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数），求证： $\text{[math]}$ .

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33. (2023·重庆市模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）求证：数列 $\text{[math]}$ 为常数列，并求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）若使不等式 $\text{[math]}$ 成立的最小整数为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的最小值.

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34. (2023·临高模拟) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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35. (2023·昆明模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$

（1）设 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 是等比数列
（2）设 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$

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36. (2023·凉山模拟) 已知对于任意 $\text{[math]}$ 函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处切线斜率为 $\text{[math]}$ ，正项等比数列 $\text{[math]}$ 的公比 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等比中项为2．

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．

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37. (2023·台州模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证：数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；
（2）若________（从下列三个条件中任选一个），求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ .

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38. (2023·安庆模拟) 已知公差不为0的等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列.

（1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ；
（2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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39. (2023·宣城模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 是首项为1的等差数列，公差 $\text{[math]}$ ，设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列．