已知双曲线的右顶点为，左焦点到其渐近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且．

1. (2023·邵阳模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右顶点为 $\text{[math]}$ ，左焦点 $\text{[math]}$ 到其渐近线 $\text{[math]}$ 的距离为2，斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交双曲线 $\text{[math]}$ 于A，B两点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
3. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于P，Q两点，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与直线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，试问：以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．