湖南省邵阳市2023届高三下学期数学二模试卷

更新时间：2023-04-26 浏览次数：90 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2023·邵阳模拟) 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位）对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. (2023·邵阳模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的充分不必要条件，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023·邵阳模拟) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直，则实数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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4. (2023·邵阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 若存在实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023·邵阳模拟) 党的二十大报告提出全面推进乡村振兴．为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场．该特色产品的热卖黄金时段为2023年2月1至4月1日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年2月1日至2月5日时段的相关数据，这5天的第 $\text{[math]}$ 天到该电商平台专营店购物人数 $\text{[math]}$ （单位：万人）的数据如下表：
日期
2月1日
2月2日
2月3日
2月4日
2月5日
第x天
1
2
3
4
5
人数y（单位：万人）
75
84
93
98
100
依据表中的统计数据，该电商平台直播黄金时间的天数 $\text{[math]}$ 与到该电商平台专营店购物的人数 $\text{[math]}$ （单位：万人）具有较强的线性相关关系，经计算得，到该电商平台专营店购物人数 $\text{[math]}$ 与直播天数 $\text{[math]}$ 的线性回归方程为 $\text{[math]}$ ．请预测从2023年2月1日起的第38天到该专营店购物的人数（单位：万人）为（）

A . 312 B . 313 C . 314 D . 315

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6. (2023·邵阳模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，半焦距为 $\text{[math]}$ ．在椭圆上存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，则椭圆离心率的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023·邵阳模拟) 如图所示，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ （除端点外）上的动点，沿直线 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ ，则下列说法中正确的是（）

A . 当点 $\text{[math]}$ 固定在线段 $\text{[math]}$ 的某位置时，点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹为球面 B . 存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ D . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值的取值范围是 $\text{[math]}$

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8. (2023·邵阳模拟) 若不等式 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，则正实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2023·邵阳模拟) 在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 为钝角 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$

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10. (2023·邵阳模拟) 若函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内有5个零点 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的值域为 $\text{[math]}$

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11. (2023·邵阳模拟) 已知点 $\text{[math]}$ 为定圆 $\text{[math]}$ 上的动点，点 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 所在平面上的定点，线段 $\text{[math]}$ 的中垂线交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹可能是（）

A . 一个点 B . 直线 C . 椭圆 D . 双曲线

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12. (2023高二下·安徽期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导数，则（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 B . 函数 $\text{[math]}$ 有唯一极小值 C . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有且只有一个零点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ D . 对于任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立

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三、填空题

13. (2023·邵阳模拟) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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14. (2023·邵阳模拟) 在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数 $\text{[math]}$ ．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有个．

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15. (2023·邵阳模拟) 已知直线 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的公切线，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点坐标为．

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16. (2023·邵阳模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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四、解答题

17. (2023·邵阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，记数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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18. (2023·邵阳模拟) 人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点 $\text{[math]}$ 处正上空 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点 $\text{[math]}$ 西南方向的草从 $\text{[math]}$ 处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北15°方向上点 $\text{[math]}$ 处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45°，拍摄羚羊的俯角为60°，假设A，B，C三点在同一水平面上．
1. （1）求此时猎豹与羚羊之间的距离 $\text{[math]}$ 的长度；
2. （2）若此时猎豹到点 $\text{[math]}$ 处比到点 $\text{[math]}$ 处的距离更近，且开始以 $\text{[math]}$ 的速度出击，与此同时机警的羚羊以 $\text{[math]}$ 的速度沿北偏东15°方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑 $\text{[math]}$ ，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能?请说明原因．
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19. (2023·邵阳模拟) 如图所示，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是等腰梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E，F，G分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的正切值．
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20. (2023·邵阳模拟) 为响应习近平总书记“全民健身”的号召，促进学生德智体美劳全面发展，某校举行校园足球比赛．根据比赛规则，淘汰赛阶段，参赛双方有时需要通过“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：
①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；
②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为 $\text{[math]}$ ，则不需要再踢第5轮）；
③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出．
假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．
1. （1）假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确，左右两边将球扑出的可能性为 $\text{[math]}$ ，中间方向扑出的可能性为 $\text{[math]}$ ．若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前4次扑出点球的个数 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望．
2. （2）现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，需要通过“点球大战”来决定胜负．设甲队每名队员射进点球的概率均为 $\text{[math]}$ ，乙队每名队员射进点球的概率均为 $\text{[math]}$ ，若甲队先踢，求甲队恰在第4轮取得胜利的概率．
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21. (2023·邵阳模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右顶点为 $\text{[math]}$ ，左焦点 $\text{[math]}$ 到其渐近线 $\text{[math]}$ 的距离为2，斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交双曲线 $\text{[math]}$ 于A，B两点，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于P，Q两点，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与直线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，试问：以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
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22. (2023·邵阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）设方程 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内的根从小到大依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ， …，求证： $\text{[math]}$ ．
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