马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一

1. (2023·茂名模拟) 马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第 $\text{[math]}$ 次状态的概率分布只跟第 $\text{[math]}$ 次的状态有关，与第 $\text{[math]}$ 次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行 $\text{[math]}$ 次操作后，记甲盒子中黑球个数为 $\text{[math]}$ ，甲盒中恰有1个黑球的概率为 $\text{[math]}$ ，恰有2个黑球的概率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的分布列；
3. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
5. （3）求 $\text{[math]}$ 的期望.

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