已知O为坐标原点，曲线：和曲线：有公共点，直线：与曲线的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M．

1. (2023·闵行模拟) 已知O为坐标原点，曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 和曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 有公共点，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M．
1. （1）若曲线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 有且仅有两个公共点，求曲线 $\text{[math]}$ 的离心率和渐近线方程；
3. （2）若直线OM经过曲线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为正整数，求a的值；
5. （3）若直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相交于C、D两点，且直线OM经过线段CD中点N，求证： $\text{[math]}$ ．