如图1，，，点在上，点在上，于点，是半圆的直径，且，为上靠近点的三等分点，是上的动点．

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1. (2023·丰润模拟) 如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是半圆 $\text{[math]}$ 的直径，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上靠近点 $\text{[math]}$ 的三等分点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的动点．
1. （1） $\text{[math]}$ 的最小值为， $\text{[math]}$ 的最大值为；
3. （2）沿直线 $\text{[math]}$ 向右平移半圆 $\text{[math]}$ ，若半圆 $\text{[math]}$ 的右移速度为每秒1个单位长，求点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的区域内部（包括边界）的时长；
5. （3）过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，沿直线 $\text{[math]}$ 向右平移半圆 $\text{[math]}$ ．
  ①如图2，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，求半圆 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上截得的线段 $\text{[math]}$ 的长；
  
  ②将半圆 $\text{[math]}$ 移动到如图2所示的位置时作为初始位置，将线段 $\text{[math]}$ 连带半圆 $\text{[math]}$ 按顺时针方向开始旋转，如图3所示，设旋转角为 $\text{[math]}$ ．当半圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的边相切时，直接写出点 $\text{[math]}$ 运动的路径长．（注：结果保留 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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