【题目】如图①，在矩形ABCD中，， F是AB延长线上一点，且，连结DF，交BC于点E，连结AE．试判断线段AE与DF的位置关系．【探究展示】小明发现，，并展示了如下的证明方法：证明：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵

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1. (2023·朝阳模拟) 【题目】如图①，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， F是AB延长线上一点，且 $\text{[math]}$ ，连结DF，交BC于点E，连结AE．试判断线段AE与DF的位置关系．
【探究展示】小明发现， $\text{[math]}$ ，并展示了如下的证明方法：
证明：∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∵四边形ABCD是矩形，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ． (依据)
1. （1）【反思交流】上述证明过程中的“依据”是．
3. （2）小颖受到小明的启发，继续进行探究，如图②，连结图①中的 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．求证：点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上．
5. （3）【拓展应用】如图③，将图①中的 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ．分别以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为圆心，以 $\text{[math]}$ 长为半径作弧，两弧交于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

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