如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于E、F（E、F不与A重合），沿着将矩形折叠使A、D重合．

1. (2023·锦江模拟) 如图1，平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象分别交矩形 $\text{[math]}$ 的两边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于E、F（E、F不与A重合），沿着 $\text{[math]}$ 将矩形 $\text{[math]}$ 折叠使A、D重合．
1. （1）当点E为 $\text{[math]}$ 中点时，求点F的坐标，并直接写出 $\text{[math]}$ 与对角线 $\text{[math]}$ 的关系；
3. （2）如图2，连接 $\text{[math]}$ ．
  ① $\text{[math]}$ 的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；
  ②当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时，直接写出k的值．