为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛.每位参赛学生答题若干次，答题赋分的方法如下：第次答题，答对得分，答错得分：从第次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍

1. (2023·嵊州模拟) 为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛.每位参赛学生答题若干次，答题赋分的方法如下：第 $\text{[math]}$ 次答题，答对得 $\text{[math]}$ 分，答错得 $\text{[math]}$ 分：从第 $\text{[math]}$ 次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得 $\text{[math]}$ 分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为 $\text{[math]}$ ，各次答题结果互不影响.
1. （1）求甲同学前 $\text{[math]}$ 次答题得分之和为 $\text{[math]}$ 分的概率；
3. （2）在甲同学完成 $\text{[math]}$ 次答题，且第 $\text{[math]}$ 次答题答对的条件下，求答题得分之和不大于 $\text{[math]}$ 分的概率；
5. （3）记甲同学第 $\text{[math]}$ 次答题所得分数 $\text{[math]}$ 的数学期望为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ，并写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）.

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