当前位置: 初中数学 / 综合题
  • 1. (2023·随州)   1643年,法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题:给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置,意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明,该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”,该问题也被称为“将军巡营”问题.

    1. (1) 下面是该问题的一种常见的解决方法,请补充以下推理过程:(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空,③处填写角度数,④处填写该三角形的某个顶点)

      的三个内角均小于时,

      如图1,将绕,点C顺时针旋转得到 , 连接

      , 可知三角形,故 , 又 , 故

      可知,当B,P, , A在同一条直线上时,取最小值,如图2,最小值为 , 此时的P点为该三角形的“费马点”,且有

      已知当有一个内角大于或等于时,“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若 , 则该三角形的“费马点”为点.

    2. (2) 如图4,在中,三个内角均小于 , 且 , 已知点P为的“费马点”,求的值;

    3. (3) 如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形,且已知 . 现欲建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆,已知由中转站P到村庄A,B,C的铺设成本分别为a元/ , a元/元/ , 选取合适的P的位置,可以使总的铺设成本最低为元.(结果用含a的式子表示)

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