问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽．

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1. (2023八下·舟山期末) 问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽 $\text{[math]}$ ．
1. （1）动手实践：如图1，A小组将矩形纸片 $\text{[math]}$ 折叠，点D落在 $\text{[math]}$ 边上的点E处，折痕为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，然后将纸片展平，得到四边形 $\text{[math]}$ ．试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并加以证明．
3. （2）如图2，B小组将矩形纸片 $\text{[math]}$ 对折使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，展平后得到折痕 $\text{[math]}$ ，再次过点A折叠使点D落在折痕 $\text{[math]}$ 上的点N处，得到折痕 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，展平后得到四边形 $\text{[math]}$ ，请求出四边形 $\text{[math]}$ 的面积．
5. （3）深度探究：
  如图 3，C小组将图1中的四边形 $\text{[math]}$ 剪去，然后在边 $\text{[math]}$ 上取点G，H，将四边形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使A点的对应点 $\text{[math]}$ 始终落在边 $\text{[math]}$ 上（点 $\text{[math]}$ 不与点D，F重合），点E落在点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点T．
  探究①当 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上运动时， $\text{[math]}$ 的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值．
  
  探究②直接写出四边形 $\text{[math]}$ 面积的最小值．

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