【探究证明】某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图①，在矩形中，，分别交于点E、F，分别交于点G、H，求证：；【结论应用】如图②，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，若，

1. (2023九上·舟山期中)
1. （1）【探究证明】某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
  如图①，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 于点E、F， $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 于点G、H，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （2）【结论应用】如图②，将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使得点B和点D重合，若 $\text{[math]}$ ，求折痕 $\text{[math]}$ 的长；
5. （3）【拓展运用】如图③，将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠．使得点D落在 $\text{[math]}$ 边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．