综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：
已知二次函数y＝x2+2x－3，当－2≤x≤2时，y的取值范围为；
①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成y＝a(x－h)2+k
形式，确定抛物线对称轴为直线x＝h ， 通过－2、h和2的大小
关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y的取值范围；
②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是；
张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数y＝－x2+2x－3，当－2≤x≤2时，求y的取值范围；
已知二次函数y＝－x2+6x－5，当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为y1 ， 最小值为y2 ， 若y1－y2＝3，求a的值．
绿化带灌溉车的操作方案
素材1 | 辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出|喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点。 |
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素材2 | 路边的绿化带宽4米 | |
素材3 | 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”。针一般打在离地面1.5米到2米的高度(包含端点)。 |
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问题解决
建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式．
灌溉车行驶过程中喷出的水能浇浓到整个绿化带吗？请说明理由．
灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针筒容易造成针筒脱落。那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围。
素材1 图1是中国传统建筑——凉亭，其截面为两个成轴对称的抛物线的一部分（如图2）．凉亭外延水平宽度EC为6米，亭高AO＝4米，在抛物线最低处由一根高为3.1米的柱子支撑，柱子离亭正中心O点距离为2.4米；
素材2 为了美观，拟在凉亭右侧抛物线内悬挂一盏上下长度为0.5米，左右宽度为0.2米的灯笼（如图3），要使得整个灯笼处于右侧且保持离地至少3米的安全距离（灯笼挂钩G位于其中间最上端）.
素材1 图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度米，拱顶离水面的距离为
米．
素材2 拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．测得相关数据如下：米，
米，
米，
米．
素材3 为确保安全，拟在石拱桥下面的P，Q两处设置航行警戒线，要求如下：
①游船底部在P，Q之间通行；
②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为米．
确定文具套餐售价 | |
素材1 | 某书店销售一款文具套装，当每套文具售价为30元时，月销售量为200套，经市场调查表明，每套文具售价每降价1元，则月销售量增加20套．设每套文具的售价为x元（x为正整数），月销售量为y套． |
素材2 | 该文具套装的成本是10元/套． |
素材3 | 为促进公益，在售价不低于进价且每套文具获利不高于95%的前提下，该书店决定，每月捐赠400元给慈善机构． |
问题解决：
求y关于x的函数表达式．
当售价为多少时，月利润W获得最大？最大利润是多少？
为了保证捐款后月利润不低于3040元，文具套装的售价可以取哪些数值．
如何设计喷泉喷头的升降方案？ | ||||||||||||
素材1 | 如图，有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为x米，到湖面的垂直高度为y米．当喷头位于起始位置时，测量得x与y的四组数据如下：
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素材2 | 公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.4米．已知游船顶棚宽度为2.8米，顶棚到湖面的高度为2米． |
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问题解决 | ||||||||||||
任务1 | 确定喷泉形状 | 结合素材1，求y关于x的表达式． | ||||||||||
任务2 | 探究喷头升降方案 | 为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值． | ||||||||||
如何设计喷水装置的高度？ | ||
素材1 | 如图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心 | |
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素材2 | 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置 ①不能碰到图2中的水柱； ②落水点G，M的间距为 ③水柱的最高点与点P的高度差为 ④从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱． |
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问题解决 | ||
任务1 | 确定水柱形状 | 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求这条抛物线的函数表达式． |
任务2 | 探究落水点位置 | 在建立的坐标系中，求落水点G的坐标． |
任务3 | 拟定喷水装置的高度 | 求出喷水装置 |
素材 | 内容 |
素材1 | 高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上． |
素材2 | 图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段AB ， OC ， 抛物线DCE（实线部分），线段DF ， 线段EG绕y轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）． 图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段AB ， OC ， 抛物线FCG（虚线部分）绕y轴旋转形成的立体图形． |
素材3 | 已知，图2坐标系中，OC＝50mm ， 记为C（0，50），D（﹣25，75），E（25，75），F（﹣25，150），G（25，150）． |
根据以上素材内容，尝试求解以下问题：
如何设计种植方案？ | |||||||||||||||
素材1 | 某校为响应国家政策，在校内100平方米的土地上进行种植课实践，现有A、B，C三种作物的相关信息如表所示．已知5株A作物和2株B作物的产量共为7千克：10株A作物和6株B作物的产量共为15千克．
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素材2 | 由于A作物植株间距较大，可增加A作物每平方米的种植株树．经过实验发现，每平方米种植A作物每增加1株，A作物的单株产量减少0.1千克．而B，C单株产量不发生变化． | ||||||||||||||
素材3 | 若同时种植A，B，C三种作物，实行分区域种植． | ||||||||||||||
问题解决 | |||||||||||||||
任务1 | 确定单株产量 | 求x，y的值． | |||||||||||||
单一种植（全部种植A作物） | 任务2 | 预估种植策略 | 要使A作物每平方米产量为4千克，则每平方米应种植多少株？ | ||||||||||||
分区种植（种植A，B，C三种作物） | 任务3 | 规划种植方案 | 设这100平方米的土地中有a平方米用于种植A作物，且每平方米的产量最大：有b平方米用于种植B作物，剩余的全用来种植C作物，a，b均为正整数．当这100平方米总产量为577千克时，求这三种作物的种植方案． | ||||||||||||
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，
， D为
上一点，
， 动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿
匀速运动，到达点A时停止，以
为边作正方形
设点P的运动时间为
， 正方形
的面积为S ， 探究S与t的关系.
①当时，
．
②S关于t的函数解析式为．
① ▲ ；
②当时，求正方形
的面积．
《蔬菜大棚的设计》 | ||
驱动问题 | 1、如何利用函数模型，刻画蔬菜大棚的棚面？ 2、如何安装排气装置，保证蔬菜大棚的通风性？ 3、如何设计大棚间距，保障蔬菜大棚的采光性？ | |
项目背景 | 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．如图，一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，这样就形成了一个温室空间．
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数学建模 | 如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．抛物线AED的顶点E（0，4） |
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问题解决 | 如图，为了保证该蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长． |
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问题解决 | 为了保证两个蔬菜大棚间的采光不受影响，如图，在某一时刻，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长． |
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素材1 | 如图1，空地上有两条互相垂直的小路OP，OQ，中间有一正方形ABCD水池，已知水池的边长为4 米，AB//OQ，AD//OP，且AB与OQ的距离为10 米，AD与OP的距离为8 米． |
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素材2 | 现利用两条小路，再购置30 米长的栅栏(图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． | |||
| 任务1 | 任务2 | ||
| 小明同学按如图2的设计，若EF=16米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．
| 若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．
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项目反 思 | 如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明． |
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测算石拱桥拱圈的半径 | ||
素材1 | 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）． | |
素材2 | 通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点，且在两块花岗岩的连接处，B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）． | |
素材3 | 如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图5）． | |
问题解决 | ||
任务1 | 获取数据 | 通过观察、计算B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）． |
任务2 | 分析计算 | 通过观察、计算石拱桥拱圈的半径． |
注：测量、计算时，都以“肘”为单位．
设计货船通过圆形拱桥的方案 | ||
素材1 | 图1中有一座圆拱石桥，图2是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB=16m，拱顶离水面的距离CD=4m．
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素材2 | 如图3，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF=3m，EH=10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y(米)与货船增加的载重量x (吨)满足函数关系式y=
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问题解决 | ||
任务1 | 确定桥拱半径 | 求圆形桥拱的半径． |
任务2 | 拟定设计方案 | 根据图3状态，货船能否通过圆形桥拱？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ |
阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，∴MA＝MC，…
如图1，在中，D ， E分别在
，
上，连结DE，若
， 求证：
.
如图2，在中，在
上取一点E ， 以
为一边构造平行四边形
， 使点D ， F恰好落在
，
上，连结
， 若
，
，
， 求
的长.
如图3，在中，在
上取一点E ， 以
为一边构造平行四边形
， 使点F恰好落在
上，连结
，
， 若
，
，
，
， 求
的长。
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．若 ， AB＝6，求BF的长．
如图①，在矩形中，
，
分别交
于点E、F，
分别交
于点G、H，求证：
；
如图1，在正方形ABCD中，AC，BD是对角线，点在AB边上，点
在对角线AC上，
， 求证：
.
如图2，在矩形ABCD中， ， 点
在AB边上，点
在对角线AC上，
， 求CF的长
如图3，在菱形ABCD中， ， 点
在AB边上，点
在对角线AC上，
， 作
交DA的延长线于点H，DE的延长线交BH于点
， 请直接写出BP，BE的长.
