综合与实践问题情境：如图1，正方形和正方形有公共顶点，，，现将正方形绕点按顺时针方向旋转，旋转角为，连接，．图1图2图3

1. (2023九上·大同期中) 综合与实践
问题情境：如图1，正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ 有公共顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，现将正方形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转，旋转角为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

图1图2图3
1. （1）猜想证明：猜想图2中 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系并证明；
3. （2）探究发现：如图3，当 $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ；
5. （3）拓展延伸：在旋转过程中，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，直接写出此时旋转角 $\text{[math]}$ 的度数和 $\text{[math]}$ 的面积．