1. (2024高二下·桂林开学考) 某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效．某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为 ， 若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为 ， 而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为 ， 如此往复．

1. （1） 求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．
3. （2） 记该同学第天中午选择冰糖雪梨汤的概率为 ， 证明：为等比数列．
5. （3） 求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．