为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点C ，推杆与铅垂线的夹角为点O ， A ， B ， C

1. (2024·珠海模拟) 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环 $\text{[math]}$ 与水平地面相切于点C ，推杆 $\text{[math]}$ 与铅垂线 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ 点O ， A ， B ， C ， D在同一平面内．当推杆 $\text{[math]}$ 与铁环 $\text{[math]}$ 相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ．
3. （2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离 $\text{[math]}$ 最小，测得 $\text{[math]}$ ．已知铁环 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，推杆 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，求此时 $\text{[math]}$ 的长．

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