罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的.它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点m，使得.

1. (2024·湖南模拟) 罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的.它的表达如下：如果函数 $\text{[math]}$ 满足在闭区间 $\text{[math]}$ 连续，在开区间 $\text{[math]}$ 内可导，且 $\text{[math]}$ ，那么在区间 $\text{[math]}$ 内至少存在一点m，使得 $\text{[math]}$ .
1. （1）运用罗尔定理证明：若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 连续，在区间 $\text{[math]}$ 上可导，则存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .
3. （2）已知函数 $\text{[math]}$ ，若对于区间 $\text{[math]}$ 内任意两个不相等的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立，求实数b的取值范围.
5. （3）证明：当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ .

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