湖北省咸宁市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

更新时间：2024-08-16 浏览次数：5 类型：期末考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. (2024高二下·咸宁期末) 已知i为虚数单位，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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2. (2024高二下·咸宁期末) 已知随机变量X服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0.2 B . 0.4 C . 0.6 D . 0.7

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3. (2024高二下·咸宁期末) 已知向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . $\text{[math]}$

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4. (2024高二下·咸宁期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高二下·咸宁期末) 一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的的上四分位数为（）

A . 5 B . 5.5 C . 14 D . 14.5

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6. (2024高二下·咸宁期末) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 关于x轴对称，向量 $\text{[math]}$ 若满足 $\text{[math]}$ 的点A的轨迹为E ，则（）

A . E是一条垂直于x轴的直线 B . E是一个半径为1的圆 C . E是两条平行直线 D . E是椭圆

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7. (2024高三上·广州月考) 由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 34 B . 33 C . 32 D . 30

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8. (2024高二下·咸宁期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线与双曲线 $\text{[math]}$ 的右支交于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，且双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. (2024高二下·咸宁期末) 已知A ， B为随机事件， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的有（）

A . 若A ， B为互斥事件，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若A ， B为互斥事件，则 $\text{[math]}$ D . 若A ， B相互独立，则 $\text{[math]}$

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10. (2024高二下·咸宁期末) 牛顿 $\text{[math]}$ 在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种数值解法——牛顿法，用“作切线”的方法求函数零点．如图，在横坐标为 $\text{[math]}$ 的点处作 $\text{[math]}$ 的切线，切线与x轴交点的横坐标为 $\text{[math]}$ ；用 $\text{[math]}$ 代替 $\text{[math]}$ 重复上面的过程得到 $\text{[math]}$ ；一直下去，得到数列 $\text{[math]}$ ，叫作牛顿数列．若函数 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 数列 $\text{[math]}$ 是递减数列 C . 数列 $\text{[math]}$ 是等比数列 D . $\text{[math]}$

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11. (2024高二下·咸宁期末) 把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱 $\text{[math]}$ 中椭圆长轴 $\text{[math]}$ ，短轴 $\text{[math]}$ 为下底面椭圆的左右焦点， $\text{[math]}$ 为上底面椭圆的右焦点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，E为线段 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 为过点 $\text{[math]}$ 的下底面的一条动弦（不与 $\text{[math]}$ 重合），则下列选项正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 时，P为 $\text{[math]}$ 的中点 B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为 $\text{[math]}$ C . 若点Q是下底面椭圆上的动点， $\text{[math]}$ 是点Q在上底面的射影，且 $\text{[math]}$ 与下底面所成的角分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值为8

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. (2024高二下·咸宁期末) 已知 $\text{[math]}$ 的展开式中二项式系数和为32，则展开式中的常数项为．

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13. (2024高二下·咸宁期末) 已知定义在区间 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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14. (2024高二下·咸宁期末) 2024年奥运会将于7月26日~8月11日在法国巴黎举行，而承办2024巴黎奥运会足球项目的是著名的巴黎王子公园球场（如图），足球场的B底线宽 $\text{[math]}$ 码，球门宽 $\text{[math]}$ 码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得 $\text{[math]}$ 最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处 $\text{[math]}$ 时，根据场上形势判断，有 $\text{[math]}$ 两条进攻线路可供选择，若选择线路 $\text{[math]}$ ，则甲带球码时，到达最佳射门位置；若选择线路 $\text{[math]}$ ，则甲带球码时，到达最佳射门位置．

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. (2024高二下·咸宁期末) 在 $\text{[math]}$ 中，角A ， B ， C所对的边为 $\text{[math]}$ ，角A的平分线交边 $\text{[math]}$ 于点D ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求A的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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16. (2024高二下·咸宁期末) 如图，在四棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．
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17. (2024高二下·咸宁期末) 三月“与辉同行”携手湖北文旅，云游湖北省博物馆、赏东湖樱花园、夜上黄鹤楼……一路走来，讲述关于湖北的历史人文、诗词歌赋，为广大网友带来一场荆楚文化的饕餮盛宴．湖北文旅因此火爆出圈，湖北各地相继迎来了旅游热潮．咸宁的大幕东源花谷，向阳湖花海的美景、美食、文化和人情也吸引了大批游客纷至沓来，现对3月中下旬至4月上旬的大幕东源花谷赏花节会部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览大幕东源花谷，另外25%的游客计划既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会．每位游客若只游览大幕东源花谷，则得到1份文旅纪念品；若既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会，则获得2份文旅纪念品．假设每位来大幕东源花谷游览的游客与是否参加“向阳花田”音乐会是相互独立的，用频率估计概率．
1. （1）从大幕东源花谷的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X ，求X的分布列及数学期望；
2. （2）记n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为 $\text{[math]}$ 个的概率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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18. (2024高二下·咸宁期末) 已知 $\text{[math]}$ 为平面上的一个动点．设直线 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ．记P的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 分别交动直线 $\text{[math]}$ 于点C、D ，过点C作 $\text{[math]}$ 的垂线交x轴于点 $\text{[math]}$ 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
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19. (2024高二下·咸宁期末) 罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的.它的表达如下：如果函数 $\text{[math]}$ 满足在闭区间 $\text{[math]}$ 连续，在开区间 $\text{[math]}$ 内可导，且 $\text{[math]}$ ，那么在区间 $\text{[math]}$ 内至少存在一点m，使得 $\text{[math]}$ .
1. （1）运用罗尔定理证明：若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 连续，在区间 $\text{[math]}$ 上可导，则存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .
2. （2）已知函数 $\text{[math]}$ ，若对于区间 $\text{[math]}$ 内任意两个不相等的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立，求实数b的取值范围.
3. （3）证明：当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ .
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