问题初探：数学课外兴趣小组活动时，数学杨老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到E ，使得；再连接，把，，集中在中；

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1. (2024八下·南城期中) 问题初探：数学课外兴趣小组活动时，数学杨老师提出了如下问题：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 边上的中线 $\text{[math]}$ 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长 $\text{[math]}$ 到E ，使得 $\text{[math]}$ ；再连接 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 集中在 $\text{[math]}$ 中；利用上述方法求出 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
1. （1）问题：请利用图1说明 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系；
  感悟：数学杨老师给学生们总结解这类问题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
3. （2）类比分析：如图2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线，试探究线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量和位置关系，并加以证明．
5. （3）学以致用：如图3，已知 $\text{[math]}$ 为直角三角形， $\text{[math]}$ ， D为斜边 $\text{[math]}$ 的中点，一个三角板的直角顶点与D重合，一个直角边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点F ，另一直角边与 $\text{[math]}$ 边交于点E ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的长是多少？

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江西省抚州市南城县2023-2024学年八年级下学期数学期中试题