对于一个函数和一个点，定义，若存在，使是的最小值，则称点P是函数到点M的“最近点”.

1. (2024·上海) 对于一个函数 $\text{[math]}$ 和一个点 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的最小值，则称点P是函数 $\text{[math]}$ 到点M的“最近点”.
1. （1）对于 $\text{[math]}$ （x＞0），求证，对于点 $\text{[math]}$ ，存在点P ，使得P是 $\text{[math]}$ 到点M的“最近点”；
3. （2）对于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请判断是否存在一个点P ，它是 $\text{[math]}$ 到点M的“最近点”，且直线MP与 $\text{[math]}$ 在点P处的切线垂直；
5. （3）已知f（x）存在导函数f^'（x），函数g（x）恒大于零，对于点M₁（t-1，f（t）-g（t）），点M₂（t+1，f（t）+g（t）），若对任意t∈R，存在点P同时是f（x）到点M₁与点M₂的“最近点”，试判断f（x）的单调性．

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1. (2024·上海) 对于一个函数和一个点 ， 定义 ， 若存在 ， 使是的最小值，则称点P是函数到点M的“最近点”.