2017年全国100所名校高考理数冲刺卷（1）

更新时间：2017-08-31 浏览次数：615 类型：高考模拟

一、选择题

1. 已知集合M={1，2，3，4，9}，N={x|x∈M且 $\text{[math]}$ ∈M}，则M∩N中的元素个数为（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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2. 已知a，b∈R，i为虚数单位，若a+3i与2+bi在复平面内对应的点关于原点对称，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . ﹣ $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 若双曲线x²+my²=2的虚轴长为2，则该双曲线的焦距为（）

A . 2 B . 2 $\text{[math]}$ C . 2 $\text{[math]}$ D . 4

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4. 2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，中位数分别为y₁ ， y₂ ，则（）

A . $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，y₁＞y₂ B . $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，y₁=y₂ C . $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，y₁=y₂ D . $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，y₁＜y₂

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5. 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ 给出下列两个命题，p：存在m∈（﹣∞，0），使得方程f（x）=0有实数解；q：当m= $\text{[math]}$ 时，f（f（1））=0，则下列命题为真命题的是（）

A . p∧q B . （￢p）∧q C . p∧（￢q） D . p∨（￢q）

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6. 如图，点M在曲线y= $\text{[math]}$ ，若由曲线y= $\text{[math]}$ 与直线OM所围成的阴影部分的面积为 $\text{[math]}$ ，则实数a等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A . 6π B . $\text{[math]}$ π C . 18π D . $\text{[math]}$ π

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8. 在明朝程大位《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争．”题意是：“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、己、庚三人共261钱，求各人钱数．”根据上题的已知条件，丙有（）

A . 100钱 B . 101钱 C . 107钱 D . 108钱

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9. 执行如图所示程序框图，若输出的结果为5，则输入的实数a的范围是（）

A . [6，24） B . [24，120） C . （﹣∞，6） D . （5，24）

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10. 现从甲、乙两个品牌共9个不同的空气净化器中选出3个分别测试A、B、C三项指标，若取出的3个空气净化器中既有甲品牌又有乙品牌的概率为 $\text{[math]}$ ，那么9个空气净化器中甲、乙品牌个数分布可能是（）

A . 甲品牌1个，乙品牌8个 B . 甲品牌2个，乙品牌7个 C . 甲品牌3个，乙品牌6个 D . 甲品牌4个，乙品牌5个

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11. 已知奇函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，点M的坐标为（1，0）且△MNE为等腰直角三角形，当A取最大值时，f（ $\text{[math]}$ ）等于（）

A . ﹣ $\text{[math]}$ B . ﹣ $\text{[math]}$ C . ﹣ $\text{[math]}$ D . ﹣1

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12. 已知方程 $\text{[math]}$ =k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（）

A . tan（α+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ B . tan（α+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ C . tan（β+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ D . tan（β+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\text{[math]}$ =（2，﹣3）， $\text{[math]}$ =（﹣3，x）且存在实数λ使 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ ，那么|2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |=．

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14. 若x，y满足不等式组 $\text{[math]}$ ，且z=2x﹣3y的最大值为13，则实数m=．

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15. 设数列{a_n}的通项公式a_n=2n﹣1，数列{b_n}满足a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n= $\text{[math]}$ +（ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ）×2 $\text{[math]}$ ，则数列{b_n}的通项公式b_n=．

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16. 已知点M，N是抛物线C：y=4x²上不同的两点，F为抛物线C的焦点，且满足∠MFN=135°，弦MN的中点P到C的准线l的距离记为d，若|MN|²=λ•d² ，则λ的最小值为．

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三、解答题

17. 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，2sin $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ +C）+cosC=﹣ $\text{[math]}$ ．
1. （1）求C；
2. （2）若c= $\text{[math]}$ ，且△ABC面积为3 $\text{[math]}$ ，求sinA+sinB的值．
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18. 如图，在正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，点D是AB的上一点，且AD=tAB．
1. （1）当t= $\text{[math]}$ 时，求证：BC₁∥平面A₁CD；
2. （2）若AB=AA₁ ，且t= $\text{[math]}$ ，求平面A₁CD与平面BB₁C₁C所成锐二面角的余弦值．
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19. 企业需为员工缴纳社会保险，缴费标准是根据职工本人上一年度月平均工资（单位：元）的8%缴纳，某企业员工甲在2010年至2016年各年中每月所缴纳的养老保险数额y（单位：元）与年份序号t的统计如表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
t
1
2
3
4
5
6
7
y
270
330
390
450
490
540
610
1. （1）求y关于t的线性回归方程 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ；
2. （2）按照这种变化趋势，利用（1）中回归方程，预测2017年该员工每月的平均工资（精确到0.1）．
  参考公式和数据： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ﹣b $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ t_iy_i=13860， $\text{[math]}$ t_i²=140．
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20. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C₁= $\text{[math]}$ 1（a＞b＞0）上任意一点到点P（﹣1，0）的最小距离为1，且椭圆C的离心率为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）若直线l与椭圆C交于点M、N，且△MON的面积为 $\text{[math]}$ ，问|OM|²+|ON|²是否为定值？若是，求出该定值，并求出sin∠MON的最小值；若不是，说明理由．
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21. 已知函数f（x）=﹣x³+x²+b，g（x）=a1nx．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求实数b的值
2. （2）若存在x∈[1，e]，使得g（x）≤﹣x²+（a+2）x成立，求实数a的取值范围；
3. （3）在（1）的条件下，设F（x）= $\text{[math]}$ ，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．
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22. 已知曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ （α为参数），直线l的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系．
1. （1）求曲线C和直线l的极坐标方程；
2. （2）求曲线C和直线l的交点的极坐标．
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23. 已知函数f（x）=||x|﹣2|+x﹣3．
1. （1）画出y=f（x）的图象．
2. （2）解不等式f（x）＜ $\text{[math]}$ x+1．
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