人教新课标A版选修4-5数学4.2用数学归纳法证明不等式同步...

更新时间：2021-05-20 浏览次数：1020 类型：同步测试

一、选择题

1. 用数学归纳法证明不等式： $\text{[math]}$ ，在证明 n=k+1 这一步时，需要证明的不等式是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 用数学归纳法证明不等式 $\text{[math]}$ ，第二步由k到k+1时不等式左边需增加（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 用数学归纳法证明 $\text{[math]}$ 时，由k到k+1，不等式左端的变化是（）

A . 增加 $\text{[math]}$ 项 B . 增加 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两项 C . 增加 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两项且减少 $\text{[math]}$ 一项 D . 以上结论均错

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4. 用数学归纳法证明：“ $\text{[math]}$ ”时，由n=k(k>1) 不等式成立，推证 n=k+1 时，左边应增加的项数是（）

A . 2^k-1 B . 2^k-1 C . 2^k D . 2^k+1

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5. 用数学归纳法证明 $\text{[math]}$ 时，第一步应验证不等式（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 用数学归纳法证明不等式 $\text{[math]}$ 成立，其 n 的初始值至少应为（）

A . 7 B . 8 C . 9 D . 10

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7. 利用数学归纳法证明不等式 $\text{[math]}$ （n≥2，n∈N^*）的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了（）

A . 1项 B . k项 C . 2^k^－¹项 D . 2^k项

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8. 用数学归纳法证明不等式 $\text{[math]}$ (n≥2，n∈N_＋)时，第一步应验证不等式（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 在用数学归纳法证明不等式“当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ ”时，第2步由n=k(k≥2)不等式成立，推证n=k+1时左边的表达式为（）

A . B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 用数学归纳法证明“ $\text{[math]}$ (n∈N_＋)”的过程中的第二步n＝k＋1时(n＝1已验，n＝k已假设成立)，这样证明： $\text{[math]}$ ，
∴当n＝k＋1时，命题成立，此种证法（）

A . 是正确的 B . 归纳假设写法不正确 C . 从k到k＋1推理不严密 D . 从k到k＋1的推理过程未使用归纳假设

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二、填空题

11. 利用数学归纳法证明不等式： $\text{[math]}$ 时，由 n=k(k>1) 不等式成立推证 n=k+1 时，左边应添加的代数式是

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12. 用数学归纳法证明不等式 $\text{[math]}$ 成立，起始值至少应取为．

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13. 用数学归纳法证明不等式 $\text{[math]}$ 的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是

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三、解答题

14. 用数学归纳法证明等式 $\text{[math]}$ ．

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15. 用数学归纳法证明不等式 $\text{[math]}$

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16. 观察下列各不等式：
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
…
1. （1）由上述不等式，归纳出一个与正整数 $\text{[math]}$ 有关的一般性结论；
2. （2）用数学归纳法证明你得到的结论．
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17. 设 $\text{[math]}$ ，其中 n 为正整数．
1. （1）求f(1)，f(2)，f(3) 的值；
2. （2）猜想满足不等式 f(n)<0 的正整数 n 的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．
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18.
设个正数满足（且）．
1. （1）
  当时，证明：；
2. （2）
  当时，不等式也成立，请你将其推广到（且）个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．
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19.
已知．经计算得 $\text{[math]}$ ．
1. （1）由上面数据，试猜想出一个一般性结论；
2. （2）用数学归纳法证明你的猜想．
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20.
已知数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正整数，对于任意n∈N^* ，都有成立，且．
1. （1）
  求，的值；
2. （2）
  猜想数列 $\text{[math]}$ 的通项公式，并给出证明．
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21. 证明： $\text{[math]}$

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22. 由下列不等式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

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23. 设曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线斜率为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .对一切实数 x ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立( a ≠0).
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求函数 $\text{[math]}$ 的表达式；
3. （3）求证： $\text{[math]}$
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24. 已知a_i>0(i=1，2，...，n) ，考查
① $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ ；
③ $\text{[math]}$ ．
归纳出对 a₁ ， a₂ ， a₃ ， ...，a_n 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．

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25.
设 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 数列是公差为，首项的等差数列；数列是公比为首项的等比数列，求证：

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