广东省三校2019-2020学年高三上学期理数第一次联考试卷

更新时间：2020-03-10 浏览次数：168 类型：月考试卷

一、单选题

1. (2019高三上·广东月考) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2019高三上·广东月考) 若复数 $\text{[math]}$ 的共轭复数满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2019高三上·广东月考) 下列有关命题的说法错误的是（）

A . 若“ $\text{[math]}$ ”为假命题，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均为假命题； B . 若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是两个不同平面， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； C . “ $\text{[math]}$ ”的必要不充分条件是“ $\text{[math]}$ ”； D . 若命题 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则命题： $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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4. (2019高三上·广东月考) 已知离散型随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

P

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

则X的数学期望 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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5. (2019高三上·广东月考) 已知向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均为非零向量， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2019高三上·广东月考) 若cos（ $\text{[math]}$ -α）= $\text{[math]}$ ，则cos（ $\text{[math]}$ +2α）的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2019高三上·广东月考) 若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆 $\text{[math]}$ 的弦长为2，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 4 B . 6 C . 12 D . 16

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8. (2019高三上·广东月考) 设抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与C交于M，N两点，则 $\text{[math]}$ =（）

A . 5 B . 6 C . 7 D . 8

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9. (2019高三上·广东月考) 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的偶函数 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取最小值时， $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2019高三上·广东月考) 如图，在直二面角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 均是以 $\text{[math]}$ 为斜边的等腰直角三角形，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的翻折过程中，下列不可能成立的是（）

A . $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 内某直线平行 B . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 内某直线垂直 D . $\text{[math]}$

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11. (2019高三上·广东月考) 定义 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 个正数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、…、 $\text{[math]}$ 的“均倒数”，若已知正整数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项的“均倒数”为 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2019高三上·广东月考) 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为自然对数的底数）在 $\text{[math]}$ 上有两个零点，则 $\text{[math]}$ 的范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. (2019高三上·广东月考) 设 $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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14. (2019高三上·广东月考) 若 $\text{[math]}$ 的展开式中各项系数之和为32，则展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为．

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15. (2019高三上·广东月考) 已知点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 轴（其中 $\text{[math]}$ 为双曲线的右焦点），点 $\text{[math]}$ 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的离心率为.

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16. (2019高三上·广东月考) 已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的所有顶点都在球 $\text{[math]}$ 的球面上， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，则球 $\text{[math]}$ 的表面积为.

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三、解答题

17. (2019高三上·广东月考) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ；
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 为等腰三角形；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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18. (2019高三上·广东月考) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 为等边三角形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；点 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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19. (2019高三上·广东月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的离心率为 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于不同的两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试问在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在定点 $\text{[math]}$ 使得直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 恰关于 $\text{[math]}$ 轴对称？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，说明理由.
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20. (2019高三上·广东月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有零点，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）若不等式 $\text{[math]}$ 对任意正实数 $\text{[math]}$ 恒成立，求正整数 $\text{[math]}$ 的取值集合．
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21. (2019高三上·广东月考) 某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数 $\text{[math]}$ （万人）与年份 $\text{[math]}$ 的数据：

第 $\text{[math]}$ 年	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
旅游人数 $\text{[math]}$ （万人）	300	283	321	345	372	435	486	527	622	800

该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的两个回归模型：

模型①：由最小二乘法公式求得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的线性回归方程 $\text{[math]}$ ；

模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线 $\text{[math]}$ 的附近．

（1）根据表中数据，求模型②的回归方程 $\text{[math]}$ ．（ $\text{[math]}$ 精确到个位， $\text{[math]}$ 精确到0.01）．
（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数 $\text{[math]}$ ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．

回归方程

① $\text{[math]}$

② $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

30407

14607

参考公式、参考数据及说明：

①对于一组数据 $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为 $\text{[math]}$ ．

②刻画回归效果的相关指数 $\text{[math]}$ ．

③参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

449

6.05

83

4195

9.00

表中 $\text{[math]}$ ．

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22. (2019高三上·广东月考) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 上任意一点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 的轨迹 $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）已知直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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23. (2019高三上·广东月考) 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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