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上海市静安区2019-2020学年高三上学期数学期末考试试卷

更新时间：2020-01-13 浏览次数：384 类型：期末考试

一、单选题

1. (2020高三上·静安期末) “三个实数 $\text{[math]}$ 成等差数列”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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2. (2020高三上·静安期末) 设 $\text{[math]}$ ，若复数 $\text{[math]}$ 是纯虚数，则点 $\text{[math]}$ 一定满足（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2020高三上·静安期末) 若展开 $\text{[math]}$ ，则展开式中 $\text{[math]}$ 的系数等于（）

A . 在 $\text{[math]}$ 中所有任取两个不同的数的乘积之和 B . 在 $\text{[math]}$ 中所有任取三个不同的数的乘积之和 C . 在 $\text{[math]}$ 中所有任取四个不同的数的乘积之和 D . 以上结论都不对

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4. (2020高三上·静安期末) 某人驾驶一艘小游艇位于湖面 $\text{[math]}$ 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东 $\text{[math]}$ 方向，且塔顶的仰角为 $\text{[math]}$ ，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达 $\text{[math]}$ 处，此时测得塔底位于北偏西 $\text{[math]}$ 方向，则该塔的高度约为（）

A . 265米 B . 279米 C . 292米 D . 306米

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二、填空题

5. (2020高三上·静安期末) 计算 $\text{[math]}$ .

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6. (2020高三上·静安期末) 在单位圆中， $\text{[math]}$ 的圆心角所对的弧长为.

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7. (2020高三上·静安期末) 若直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为.

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8. (2020高三上·静安期末) 若直线 $\text{[math]}$ 的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，则若直线 $\text{[math]}$ 的斜率 $\text{[math]}$ .

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9. (2020高三上·静安期末) 设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则 $\text{[math]}$ 小时后， $\text{[math]}$ 个此种细胞将分裂为个.

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10. (2020高三上·静安期末) 设 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，斜边 $\text{[math]}$ ,现将 $\text{[math]}$ （及其内部）绕斜边 $\text{[math]}$ 所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为.

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11. (2020高三上·静安期末) 如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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12. (2020高三上·静安期末) 三倍角的正切公式为 $\text{[math]}$ .

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13. (2020高三上·静安期末) 设集合 $\text{[math]}$ 共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为.

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14. (2020高三上·静安期末) 现将函数 $\text{[math]}$ 的反函数定义为正反割函数，记为： $\text{[math]}$ .则 $\text{[math]}$ .（请保留两位小数）

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15. (2020高三上·静安期末) 设双曲线 $\text{[math]}$ 的两个焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在双曲线上，若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到坐标原点 $\text{[math]}$ 的距离的最小值为.

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16. (2020高三上·静安期末) 设 $\text{[math]}$ 我们可以证明对数的运算性质如下： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .我们将 $\text{[math]}$ 式称为证明的“关键步骤”.则证明 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）的“关键步骤”为.

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三、解答题

17. (2020高三上·静安期末) 如图，在正六棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知底边为2，侧棱与底面所成角为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求该六棱锥的体积 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证： $\text{[math]}$
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18. (2020高三上·静安期末) 请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.
1. （1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形 $\text{[math]}$ ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.
2. （2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形 $\text{[math]}$ ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.
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19. (2020高三上·静安期末) 设 $\text{[math]}$ 是等差数列，公差为 $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ .
1. （1）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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20. (2020高三上·静安期末) 已知抛物线Γ的准线方程为 $\text{[math]}$ .焦点为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：抛物线Γ上任意一点 $\text{[math]}$ 的坐标 $\text{[math]}$ 都满足方程： $\text{[math]}$
2. （2）请求出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；
3. （3）设垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线与抛物线交于 $\text{[math]}$ 两点，求线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程.
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21. (2020高三上·静安期末) 现定义：设 $\text{[math]}$ 是非零实常数，若对于任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 为“关于的 $\text{[math]}$ 偶型函数”
1. （1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明
2. （2）设定义域为的“关于的 $\text{[math]}$ 偶型函数”在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，求证在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减
3. （3）设定义域为 $\text{[math]}$ 的“关于 $\text{[math]}$ 的偶型函数” $\text{[math]}$ 是奇函数，若 $\text{[math]}$ ，请猜测 $\text{[math]}$ 的值，并用数学归纳法证明你的结论
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