上海市杨浦区2020届高三数学第一次模拟（期末)试卷

更新时间：2024-07-13 浏览次数：258 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2020·杨浦模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为非零实数，且 $\text{[math]}$ ，则下列不等式成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2020·杨浦模拟) 要得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，只要将 $\text{[math]}$ 的图象（）

A . 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位 B . 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位 C . 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位 D . 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位

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3. (2020·杨浦模拟) 设 $\text{[math]}$ 为复数，则下列命题中一定成立的是（）

A . 如果 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ B . 如果 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ C . 如果 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ D . 如果 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$

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4. (2020高三上·哈尔滨月考) 对于全集 $\text{[math]}$ 的子集 $\text{[math]}$ 定义函数 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的特征函数，设 $\text{[math]}$ 为全集 $\text{[math]}$ 的子集，下列结论中错误的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

5. (2021高三上·杨浦期中) 函数 $\text{[math]}$ 的定义域为.

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6. (2020·杨浦模拟) 关于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的方程组 $\text{[math]}$ 的增广矩阵为

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7. (2020·杨浦模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的反函数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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8. (2020高二下·南阳期中) 设 $\text{[math]}$ 为纯虚数( $\text{[math]}$ 为虚数单位),则 $\text{[math]}$ .

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9. (2020·杨浦模拟) 已知圆锥的底面半径为 $\text{[math]}$ ，侧面积为 $\text{[math]}$ ，则母线与底面所成角的大小为.

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10. (2020·杨浦模拟) 已知 $\text{[math]}$ 的展开式中，含 $\text{[math]}$ 项的系数等于280，则实数 $\text{[math]}$ .

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11. (2020·杨浦模拟) 椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ 为椭圆上一点,若 $\text{[math]}$ ,则 $\text{[math]}$ .

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12. (2020·杨浦模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，则 $\text{[math]}$ .

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13. (2020·杨浦模拟) 在直角坐标平面 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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14. (2020·杨浦模拟) 已知六个函数：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ；⑥ $\text{[math]}$ ，从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有种.

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15. (2020·杨浦模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有三个不相等的实数解，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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16. (2020·杨浦模拟) 向量集合 $\text{[math]}$ ,对于任意 $\text{[math]}$ ,以及任意 $\text{[math]}$ ,都有 $\text{[math]}$ ,则称 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ 类集”,现有四个命题:
①若 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ 类集”,则集合 $\text{[math]}$ 也是“ $\text{[math]}$ 类集”;

②若 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ 都是“ $\text{[math]}$ 类集”,则集合 $\text{[math]}$ 也是“ $\text{[math]}$ 类集”;

③若 $\text{[math]}$ 都是“ $\text{[math]}$ 类集”,则 $\text{[math]}$ 也是“ $\text{[math]}$ 类集”;

④若 $\text{[math]}$ 都是“ $\text{[math]}$ 类集”,且交集非空,则 $\text{[math]}$ 也是“ $\text{[math]}$ 类集”.

其中正确的命题有(填所有正确命题的序号)

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三、解答题

17. (2020·杨浦模拟) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四点共面；
2. （2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角.
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18. (2020·杨浦模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ 为实常数.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，解关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ ；
2. （2）判断函数 $\text{[math]}$ 的奇偶性，并说明理由.
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19. (2020·杨浦模拟) 东西向的铁路上有两个道口 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，铁路两侧的公路分布如图， $\text{[math]}$ 位于 $\text{[math]}$ 的南偏西 $\text{[math]}$ ，且位于 $\text{[math]}$ 的南偏东 $\text{[math]}$ 方向， $\text{[math]}$ 位于 $\text{[math]}$ 的正北方向， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 处一辆救护车欲通过道口前往 $\text{[math]}$ 处的医院送病人，发现北偏东 $\text{[math]}$ 方向的 $\text{[math]}$ 处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要 $\text{[math]}$ 分钟，救护车和火车的速度均为 $\text{[math]}$ .
1. （1）判断救护车通过道口 $\text{[math]}$ 是否会受火车影响，并说明理由；
2. （2）为了尽快将病人送到医院，救护车应选择 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中的哪个道口？通过计算说明.
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20. (2020·杨浦模拟) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是第一象限内抛物线 $\text{[math]}$ 上的一点，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形，且 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）弦 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，过弦 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为点 $\text{[math]}$ ，求证：“直线 $\text{[math]}$ 与抛物线相切”的一个充要条件是“ $\text{[math]}$ 为弦 $\text{[math]}$ 的中点”.
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21. (2020·杨浦模拟) 已知无穷数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若对于任意的正整数 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ .
1. （1）判断首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的无穷等比数列 $\text{[math]}$ 是否具有性质 $\text{[math]}$ ，并说明理由；
2. （2）已知无穷数列 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ，且任意相邻四项之和都相等，求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）已知 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是等差数列， $\text{[math]}$ ，若无穷数列 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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