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河北省石家庄市2021届高三下学期数学质检试卷一

更新时间:2021-04-27 浏览次数:177 类型:高考模拟
一、单选题
二、多选题
三、填空题
四、解答题
  • 17. (2021·石家庄模拟) 已知公差不为0的等差数列 满足 ,且 成等比数列.

    (Ⅰ)求数列 的通项公式;

    (Ⅱ)若 ,求数列 的前 项和 .

  • 18. (2021高一下·深圳期中) 中,角 所对的边分别为 ,满足 .

    (Ⅰ)求角 的大小;

    (Ⅱ)若 ,求 的取值范围.

  • 19. (2021·石家庄模拟) 2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意,沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”,就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹,冰上划痕成丝带,22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型,这种造型富有动感,体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体,其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就,如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式,但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.

    (Ⅰ)利用祖暅原理推导半径为 的球的体积公式时,可以构造如图②所示的几何体 ,几何体 的底面半径和高都为 ,其底面和半球体的底面同在平面 内.设与平面 平行且距离为 的平面 截两个几何体得到两个截面,请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明;

    (Ⅱ)现将椭圆 所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球 (如图),类比(Ⅰ)中的方法,探究椭球 的体积公式,并写出椭球 的体积之比.

  • 20. (2021·石家庄模拟) T2钻石联赛”是世界乒联推出一种新型乒乓球赛事,其赛制如下:采用七局四胜制,比赛过程中可能出现两种模式:“常规模式”和“FAST5模式”.在前24分钟内进行的常规模式中,每小局比赛均为11分制,率先拿满1分的选手赢得该局;如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛,那么将进入“FAST5”模式,“FAST5”模式为5分制的小局比赛,率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式.某位选手率先在7局比赛中拿下4局,比赛结束.现有甲、乙两位选手进行比赛,经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现,24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局,且在11分制比赛中,每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ;在“FAST5”模式,每局比赛双方获胜的概率都为 ,每局比赛结果相互独立.

    (Ⅰ)求4局比赛决出胜负的概率;

    (Ⅱ)设在24分钟内,甲、乙比赛了3局,比赛结束时,甲乙总共进行的局数记为 ,求 的分布列及数学期望.

  • 21. (2021·石家庄模拟) 已知坐标原点为 ,双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 ,离心率为 .

    (Ⅰ)求双曲线的方程;

    (Ⅱ)设过双曲线上动点 的直线 分别交双曲线的两条渐近线于 两点,求 的外心 的轨迹方程.

  • 22. (2021·石家庄模拟) 已知函数 ,且方程 上有解.

    (Ⅰ)求实数 的取值范围;

    (Ⅱ)设函数 的最大值为 ,求函数 的最小值;

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