景德镇市2021届高三理数第三次质检试卷

更新时间：2021-05-13 浏览次数：151 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2021·景德镇模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021·景德镇模拟) 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ 的虚部是（）

A . -2 B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2021·景德镇模拟) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . ±16 B . 16 C . ±4 D . 4

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4. (2021·景德镇模拟) 在手机未普及的上世纪七八十年代，小孩玩的很多游戏都是自创的，其中有一个游戏规则如下：在地上画一条线段，游戏参与者站在规定的距离外朝着此线段丢一片圆形铁皮，铁皮压住了横线为有效，恰好压住了线段的两端点之一，则为获胜，现假设线段长为20厘米，铁片半径1厘米，若一个小孩朝着线段随机丢铁片若干次，其中有效次数为100次，获胜次数为15次，用得到的频率估计概率，可估算出 $\text{[math]}$ 的近似值为(精确到小数点后两位)（）

A . 3.06 B . 3.12 C . 3.20 D . 3.24

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5. (2021·景德镇模拟) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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6. (2021·景德镇模拟) 景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部(图2)外形上下对称，基本可看作是离心率为 $\text{[math]}$ 的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，颈部高为20厘米，则瓶口直径为（）

A . 20 B . 30 C . 40 D . 50

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7. (2021·景德镇模拟) 若直线 $\text{[math]}$ 被圆 $\text{[math]}$ 所截弦长最短，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . -2

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8. (2021·景德镇模拟) 三棱柱被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . 6 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2021·景德镇模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得最小值，且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2021·景德镇模拟) 在棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，则平面 $\text{[math]}$ 与正方体 $\text{[math]}$ 外接球的交点轨迹长度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4π

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11. (2021·景德镇模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为抛物线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 上的动点，抛物线的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为平面两点，当 $\text{[math]}$ 取到最小值时，点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，当 $\text{[math]}$ 取到最大时，点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合，则直线的 $\text{[math]}$ 的斜率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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12. (2021·景德镇模拟) 若正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. (2021·景德镇模拟) 某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本.已知4号､43号同学在样本中，那么样本中另外两位同学的学号是.

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14. (2021·景德镇模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. (2021·景德镇模拟) 已知公差不为0的等差数列 $\text{[math]}$ 的部分项 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，……构成等比数列 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. (2021·景德镇模拟) 对于定义域为 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ ，若满足（1） $\text{[math]}$ ；（2）当 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，都有 $\text{[math]}$ ；（3）当 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，都有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为“偏对称函数”.现给出四个函数：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 则“偏对称函数”有个.

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三、解答题

17. (2021·景德镇模拟) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间；
2. （2）在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的角平分线， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，求 $\text{[math]}$ 的长.
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18. (2021·景德镇模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是平行四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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19. (2021·景德镇模拟) 自“新冠肺炎”爆发以来，中国科研团队一直在积极地研发“新冠疫苗”，在科研人员不懈努力下，我国公民率先在2020年年末开始可以使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权，研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验．
1. （1）实验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现，除2号、3号和7号白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，现从这10只白兔中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望．
2. （2）科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响，相互独立，试问，若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到96%，如若可以请说明理由，若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求．
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20. (2021·景德镇模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 上的点到焦点 $\text{[math]}$ 的最小距离为1，且以椭圆 $\text{[math]}$ 的短轴为直径的圆过点 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆的左右顶点．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过 $\text{[math]}$ 直线交椭圆于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在第一象限），直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，若存在，求出实数 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由．
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21. (2021·景德镇模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，
1. （1）若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相切，求 $\text{[math]}$ 的值．
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求证：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立．
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22. (2021·景德镇模拟) 在极坐标系中，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，以极点 $\text{[math]}$ 为原点，以极轴为 $\text{[math]}$ 轴的非负半轴，建立直角坐标系，已知 $\text{[math]}$ 点的坐标为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为参数)，且与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程和直线 $\text{[math]}$ 的普通方程；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 的动点，则满足使得 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 条件的点 $\text{[math]}$ 有几个，并求出点 $\text{[math]}$ 的坐标.
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23. (2021·景德镇模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，解不等式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，若不等式 $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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