江苏省南通市2021届高三下学期数学5月四模试卷

更新时间：2024-07-13 浏览次数：156 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2021·南通模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的个数为（）

A . 1 B . 3 C . 4 D . 6

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2. (2021·南通模拟) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . -1

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3. (2021·南通模拟) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的公比为 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. (2021·南通模拟) 4位优秀党务工作者到3个基层单位进行百年党史宣讲，每人宣讲1场，每个基层单位至少安排1人宣讲，则不同的安排方法数为（）

A . 81 B . 72 C . 36 D . 6

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5. (2021·南通模拟) 我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”2种叠加态，2个超导量子比特共有“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”4种叠加态，3个超导量子比特共有“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长.设62个超导量子比特共有 $\text{[math]}$ 种叠加态，则 $\text{[math]}$ 是一个（）位的数.(参考数据： $\text{[math]}$ )

A . 18 B . 19 C . 62 D . 63

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6. (2021·南通模拟) 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，常数项为（）

A . 210 B . 252 C . 462 D . 672

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7. (2021·南通模拟) 双曲线 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2021·南通模拟) 在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.当点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 内运动时，有 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2021·南通模拟) 新中国成立以来，我国共进行了7次人口普查，这7次人口普查的城乡人口数据如下：

根据该图数据，这7次人口普查中（）

A . 城镇人口数均少于乡村人口数 B . 乡村人口数达到最高峰是第4次 C . 和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第7次 D . 城镇人口总数逐次增加

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10. (2021·南通模拟) 下列结论正确的是（）

A . 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为纯虚数 B . 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. (2021·南通模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 分别绕边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在的直线旋转一周，形成的几何体的体积分别记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，侧面积分别记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2021·南通模拟) 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最大值为2 D . 不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2021·南通模拟) 已知角 $\text{[math]}$ 的终边经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是.

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14. (2021·南通模拟) 设曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线斜率为1，试写出满足题设的一个 $\text{[math]}$ .

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15. (2021·南通模拟) 舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的一种作图工具，如图， $\text{[math]}$ 是滑槽 $\text{[math]}$ 的中点，短杆 $\text{[math]}$ 可绕 $\text{[math]}$ 转动，长杆 $\text{[math]}$ 通过 $\text{[math]}$ 处的铰链与 $\text{[math]}$ 连接， $\text{[math]}$ 上的栓子 $\text{[math]}$ 可沿滑槽 $\text{[math]}$ 滑动.当点 $\text{[math]}$ 在滑槽 $\text{[math]}$ 内作往复移动时，带动点 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 转动，点 $\text{[math]}$ 也随之而运动.记点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 作切线，则切线长的最大值为.

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16. (2021·南通模拟) 甲､乙､丙三支足球队进行双循环赛(任意两支球队都要在自己的主场和对方的主场各赛一场).根据比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.比赛进行中的统计数据如下表：

	已赛场数	胜的场数	平的场数	负的场数	积分
甲	4	2	1	1	7
乙	3	0	2	1	2
丙	3	1	1	1	4

根据表格中的信息可知：

（1）还需进行场比赛，整个双循环赛全部结束；
（2）在与乙队的比赛中，甲队共得了分.

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四、解答题

17. (2021高三上·江西月考) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的最大项.
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18. (2021·南通模拟) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为山脚两侧共线的三点，在山顶 $\text{[math]}$ 处观测三点的俯角分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .现测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .计划沿直线 $\text{[math]}$ 开通一条穿山隧道，试求出隧道 $\text{[math]}$ 的长度.

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19. (2021·南通模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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20. (2021·南通模拟) 已知 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 上位于第一象限的点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的焦点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ (异于点 $\text{[math]}$ ).直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 于另一点 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明：线段 $\text{[math]}$ 的中点在定直线上；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点是否共线.
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21. (2021·南通模拟) 在医学上，为了加快对流行性病毒的检测速度，常采用“混检”的方法：随机的将若干人的核酸样本混在一起进行检测，若检测结果呈阴性，则认定该组每份样本均为阴性，无需再检测；若检测结果呈阳性，则还需对该组的每份样本逐个重新检测，以确定每份样本是否为阳性.设某流行性病毒的感染率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，混检时每组10人，求每组检测次数的期望值；
2. （2）混检分组的方法有两种：每组10人或30人.试问这两种分组方法的优越性与 $\text{[math]}$ 的值是否有关？
  (参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )
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22. (2021·南通模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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