广东省中山市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

更新时间：2024-11-06 浏览次数：182 类型：期末考试

一、单选题

1. (2021高二下·中山期末) 已知复数z满足 $\text{[math]}$ ，则复数z的模为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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2. (2021高二下·中山期末) 设随机变量 $\text{[math]}$ 服从二项分布 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2021高二下·中山期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在R上为增函数，则实数a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2021高二下·中山期末) 已知 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，其中 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的导数，则所给选项的四个图象中，函数 $\text{[math]}$ 的图象可能是（）

A . B . C . D .

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5. (2021高二下·中山期末) 随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．

	非一线	一线	总计
愿生	45	20	65
不愿生	13	22	35
总计	58	42	100

由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ .

参照下表，

P(K²≥k₀)	0.050	0.010	0.001
k₀	3.841	6.635	10.828

下列结论正确的是（）

A . 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B . 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” C . 有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关” D . 有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”

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6. (2021高二下·中山期末) 对任意实数 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 6 B . 9 C . 12 D . 21

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7. (2021高二下·中山期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A . b<c<a B . c<a<b C . c<b<a D . a<c<b

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8. (2022高三上·河北期中) 多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：顶点数＋表面数－棱长数＝2.在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯 $\text{[math]}$ （结构图如图）是单纯用碳原子组成的稳定分子，具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形.除 $\text{[math]}$ 外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，等，则 $\text{[math]}$ 结构含有正六边形的个数为（）

A . 12 B . 24 C . 30 D . 32

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二、多选题

9. (2021高二下·中山期末) 下列计算正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2021高二下·中山期末) 若 $\text{[math]}$ 的展开式中第6项的二项式系数最大，则n的可能值为（）

A . 9 B . 10 C . 11 D . 12

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11. (2021高二下·中山期末) 若随机变量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，下列等式成立有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2021高二下·中山期末) 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应向量 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为坐标原点)，设 $\text{[math]}$ ，以射线 $\text{[math]}$ 为始边， $\text{[math]}$ 为终边逆时针旋转的角为 $\text{[math]}$ ，那么复数都可以表示为 $\text{[math]}$ 的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ，这也称为棣莫弗定理，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式： $\text{[math]}$ .根据以上信息，下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ 为偶数，则复数 $\text{[math]}$ 为纯虚数

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三、填空题

13. (2021高二下·中山期末) 已知曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相切，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2021高二下·中山期末) 如图一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有种

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15. (2021高二下·中山期末) 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以 $\text{[math]}$ 表示笼内还剩下的果蝇的只数，则 $\text{[math]}$ .

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16. (2021高二下·中山期末) 已知不等式 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. (2021高二下·中山期末) 已知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 展开式中的常数项.
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18. (2021高二下·中山期末) $\text{[math]}$ 市某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断改革、探索销售模式.下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量 $\text{[math]}$ （吨）与相应的生产总成本 $\text{[math]}$ （万元）的五组对照数据.

产量 $\text{[math]}$ （件）

1

2

3

4

5

生产总成本 $\text{[math]}$ （万元）

3

7

8

10

12
1. （1）根据上达数据，若用最小二乘法进行线性模拟，试求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归直线方程 $\text{[math]}$ ；参考公式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
2. （2）记第（1）问中所求y与x的线性回归直线方程 $\text{[math]}$ 为模型①，同时该企业科研人员利用计算机根据数据又建立了y与x的回归模型②： $\text{[math]}$ .其中模型②的残差图（残差=实际值-预报值）如图所示：
  
  请完成模型①的残差表与残差图，并根据残差图，判断哪一个模型更适宜作为y关于x的回归方程？并说明理由；
3. （3）根据模型①中y与x的线性回归方程，预测产量为6吨时生产总成本为多少万元？
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19. (2021高二下·中山期末) 某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评 $\text{[math]}$ 仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”．该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：

教师评分

11

10

9

分数所占比例

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．

已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．
1. （1）求该同学这个题目需要仲裁的概率；
2. （2）求该同学这个题目得分 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望 $\text{[math]}$ （精确到整数）．
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20. (2021高二下·中山期末) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的极值；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴有且只有一个交点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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21. (2021高二下·中山期末) 已知函数 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）当 $\text{[math]}$ 时，讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；

（Ⅱ）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

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22. (2021高二下·中山期末) 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.

如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以 $\text{[math]}$ 的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，6的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右4次向左滚到第7层的第3个空隙处，再以 $\text{[math]}$ 的概率向右滚下，或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滚到第7层的第4个空隙处，再以 $\text{[math]}$ 的概率向左滚下.
1. （1）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；
2. （2）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入 $\text{[math]}$ 号球槽得到的奖金为 $\text{[math]}$ 元，其中 $\text{[math]}$ .
  ①求 $\text{[math]}$ 的分布列：
  
  ②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？
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