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福建省青少年“大梦杯”2022年数学水平测试试卷

更新时间:2022-04-30 浏览次数:314 类型:竞赛测试
一、单选题
二、填空题
三、解答题
  • 10. (2022九上·福建竞赛) 同余数是一个三边均为有理数的直角三角形的面积,即如果存在三个正有理数a,b,c,使得 ,且 ,则称n为同余数.如果正整数n为同余数,则称n为整同余数.由于5是三边长分别为 的直角三角形的面积,6是三边长分别为3,4,5的直角三角形的面积,7是三边长分别为 的直角三角形的面积,所以5,6,7都是同余数,且是整同余数.如何判断一个正整数是否为同余数至今尚未完全解决.关于同余数的第一个重要结论是费马(Fermat)在17世纪证明的1不是同余数.在 中,令 ,得 .因此,若正整数n是同余数,则二元三次不定方程 有有理数解;若正整数n使得二元三次不定方程 有有理数解,则n是同余数.这样,古老的同余数问题与现代的椭圆曲线 的有理点(横、纵坐标均为有理数的点)之间建立了联系.阅读上述材料,请你写出椭圆曲线 上的一个有理点坐标(x,y)=.
  • 11. (2022九上·福建竞赛) 已知开口向上的抛物线 与直线:y=ax+c,y=cx+a中的每一条都至多有一个公共点.
    1. (1) 求 的最大值;
    2. (2) 当 取最大值时,设直线 交抛物线 于A,B两点,C为抛物线的顶点,若△ABC内切圆的半径为1,求a的值.
  • 12. (2022九上·福建竞赛) 如图,四边形ABCD是平行四边形,∠DAC=45°,以线段AC为直径的圆与AB和AD的延长线分别交于点E和F,过点B作AC的垂线,垂足为H.求证:E,H,F三点共线.

  • 13. (2022九上·福建竞赛) 将1,2,3,…,16这16个数分成8组 .求 的最小值.

    必要时可以利用排序不等式(又称排序原理):设 为两组实数, 的任一排列,则 .

  • 14. (2022九上·福建竞赛) 已知矩形ABCD的边AB=21,BC=19,r是给定的小于1的正实数.
    1. (1) 在矩形ABCD内任意放入114个直径为1的圆.证明:在矩形ABCD内一定还可以放入一个直径为r的圆,它和这114个圆都没有交点(也不在某个圆的内部);
    2. (2) 在矩形ABCD内任意放入95个单位正方形(边长为1的正方形).证明:在矩形ABCD内一定还可以放入一个直径为r的圆,它和这95个正方形都没有交点(也不在某个正方形的内部).

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