江苏省泰州市2021-2022学年高一下学期数学期末试卷

更新时间：2022-08-15 浏览次数：69 类型：期末考试

一、单选题

1. 已知复数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 5

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2. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . -2 C . $\text{[math]}$ D . 2

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4. 某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320，300，380.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为

A . 68 B . 38 C . 32 D . 30

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5. 从2名男生和2名女生中任选2名学生参加座谈会，则下列事件互斥的是（）

A . “恰好选中1名男生”与“恰好选中1名女生” B . “至少选中1名男生”与“至少选中1名女生” C . “选中1名男生”与“选中2名女生” D . “至多选中1名男生”与“至多选中1名女生”

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6. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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7. 某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体 $\text{[math]}$ 挖去一个四棱锥 $\text{[math]}$ 后所得的几何体，其中 $\text{[math]}$ 为长方体 $\text{[math]}$ 的中心， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为所在棱的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么该模型的表面积为（） $\text{[math]}$ ．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 某人工生态园内栽种了10万余株水杉、池杉等品种树木，垛与垛间的夹沟里鱼游虾戏，这里是丹顶鹤、黑鹳、猫头鹰、灰鹭、苍鹭、白鹭等候鸟的乐园.游客甲与乙同时乘竹筏从码头沿下图旅游线路游玩.甲将在“院士台”之前的任意一站下竹筏，乙将在“童话国”之前的任意一站下竹筏，他们两人下竹筏互不影响，且他们都至少坐一站再下竹筏，则甲比乙后下的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A . 用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1 B . 已知一组数据1，2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 8，9的平均数为5，则这组数据的中位数是5 C . 已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩的百分位数是20 D . 若样本数据 $\text{[math]}$ 的方差为8，则数据 $\text{[math]}$ 的方差为15

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10. 在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中，下列选项正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为 $\text{[math]}$ D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$

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11. 如图，已知菱形 $\text{[math]}$ 的边长为6， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ ，下列选项正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知一组数据为2，3，6，7，8，10，11，13，若在这组数据中插入一个自然数a使得这组新数据满足中位数是7且平均数大于7，则a可以是.（写出符合条件的一个值）

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14. 如图，一个圆形漏斗由上、下两部分组成，上面部分是一个圆柱，下面部分是一个共底面的圆锥，若圆锥的高是圆柱高的3倍，且圆柱的容积为 $\text{[math]}$ ，则这个漏斗的容积为.

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15. 如图所示，该图由三个全等的 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 构成，其中 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都为等边三角形.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. 欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡.他生于牧师家庭.15岁在巴塞尔大学获学士学位，翌年得硕士学位.1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国.1731年接替丹尼尔·伯努利成为物理教授.他以旺盛的精力投入研究，在俄国的14年中，他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作. $\text{[math]}$ 年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ .

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四、解答题

17. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 为纯虚数， $\text{[math]}$ 为实数，其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位．
1. （1）求复数 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值．
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18. 为提高教学效果，某校对高一某班期中考试数学成绩做了如下统计，用折线图分别表示出男生和女生在本次考试中的成绩（单位：分，且均为整数）．根据全体学生的成绩绘制了频率分布直方图，根据试卷难度测算，将考试成绩在130分以上（含130分）定义为优秀．由于电脑操作失误，折线图中女生数据全部丢失，无法找回．但据数学老师回忆，确定班级成绩中分数在140分（含140分）以上的仅有两人，且都是男生．
1. （1）求该班级人数及女生成绩在[110，120)的人数；
2. （2）在成绩为“优秀”的学生中随机选取2人参加省中学生数学奥林匹克竞赛，求选取的恰好是一个男生和一个女生的概率．
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19. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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20. 如图，已知斜三棱柱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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21. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请在① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，完成下列问题.
1. （1）求角 $\text{[math]}$ ；
2. （2）在（1）的条件下，若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．
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22. 如图（1），在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，以 $\text{[math]}$ 为折痕把 $\text{[math]}$ 折起，使点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 位置（如图（2））．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）当四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大时，分别求下列问题：
  ①设平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的交线为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
  ②在棱 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由．
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