山西省2023届高三数学一模试卷

更新时间：2023-03-27 浏览次数：106 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2023·山西模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023·山西模拟) 复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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3. (2023·山西模拟) 在天文学中，常用星等 $\text{[math]}$ ，光照度 $\text{[math]}$ 等来描述天体的明暗程度.两颗星的星等与光照度满足星普森公式 $\text{[math]}$ .已知大犬座天狼星的星等为 $\text{[math]}$ ，天狼星的光照度是织女星光照度的4倍，据此估计织女星的星等为（参考数据 $\text{[math]}$ ）（）

A . 2 B . 1.05 C . 0.05 D . $\text{[math]}$

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4. (2023·山西模拟) 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点的圆与直线 $\text{[math]}$ 的位置关系为（）

A . 相交 B . 相切 C . 相交或相切 D . 无法确定

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5. (2023·山西模拟) 已知矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边中点，线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023·山西模拟) 已知随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列如下：
$\text{[math]}$
0
1
2
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
其中 $\text{[math]}$ ， 2，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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7. (2023·山西模拟) 近年来受各种因素影响，国际大宗商品价格波动较大，我国某钢铁企业需要不间断从澳大利亚采购铁矿石，为保证企业利益最大化，提出以下两种采购方案.方案一：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石的数量一定；方案二：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石所花的钱数一定，则下列说法正确的是（）

A . 方案一更经济 B . 方案二更经济 C . 两种方案一样 D . 条件不足，无法确定

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8. (2023·山西模拟) 定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足在区间 $\text{[math]}$ 内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ B . 将 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后关于原点对称 C . $\text{[math]}$ 图象的一个对称中心为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增

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二、多选题

9. (2023·山西模拟) 某同学用搜集到的六组数据 $\text{[math]}$ 绘制了如下散点图，在这六个点中去掉 $\text{[math]}$ 点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（）

A . 决定系数 $\text{[math]}$ 变小 B . 相关系数 $\text{[math]}$ 的绝对值越趋于1 C . 残差平方和变小 D . 解释变量 $\text{[math]}$ 与预报变量 $\text{[math]}$ 相关性变弱

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10. (2023·山西模拟) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最小值为9 D . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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11. (2023·山西模拟) 1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21 $\text{[math]}$ 该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列 $\text{[math]}$ 称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记 $\text{[math]}$ 为该数列的前 $\text{[math]}$ 项和，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 为偶数 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2023·山西模拟) 在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 在侧面 $\text{[math]}$ （含边界）内运动， $\text{[math]}$ 在底面 $\text{[math]}$ （含边界）内运动，则下列说法正确的是（）

A . 若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成角为30°，则 $\text{[math]}$ 点的轨迹为圆弧 B . 若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为30°，则 $\text{[math]}$ 点的轨迹为双曲线的一部分 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 点的轨迹为线段 D . 若 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离等于 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹为抛物线的一部分

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三、填空题

13. (2023·山西模拟) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2023·山西模拟) 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的展开式中常数项为.

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15. (2023·山西模拟) 写出一个同时满足下列三个条件的函数 $\text{[math]}$ 的解析式.
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增.

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16. (2023·山西模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线上一动点，则 $\text{[math]}$ 周长的最小值为.

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四、解答题

17. (2023·山西模拟) 在① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题.
问题：在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且____.
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上一点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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18. (2023·山西模拟) 从下面的表格中选出3个数字（其中任意两个数字不同行且不同列）作为递增等差数列 $\text{[math]}$ 的前三项.

第1列
第2列
第3列
第1行
7
2
3
第2行
1
5
4
第3行
6
9
8
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式，并求 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ，求证 $\text{[math]}$ .
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19. (2023·山西模拟) 如图所示，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；
2. （2）线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由.
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20. (2023·山西模拟) 假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同.
1. （1）每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；
2. （2）若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.
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21. (2023·山西模拟) 双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，焦点到渐近线的距离为 $\text{[math]}$ ，且过点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，证明直线 $\text{[math]}$ 过定点.
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22. (2023·山西模拟) 已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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