山东省2022-2023学年高三下学期数学开学考试联考试卷

更新时间：2023-04-29 浏览次数：59 类型：开学考试

一、单选题

1. (2023高三下·山东开学考) 已知复数 $\text{[math]}$ 在复平面内的对应点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高三下·山东开学考) 设集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的所有子集的个数为（）

A . 3 B . 4 C . 8 D . 16

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3. (2023高三下·山东开学考) 设随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023高三下·山东开学考) 抛掷一枚质地均匀的骰子3次，则向上的点数为3个互不相同的偶数的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023高三下·山东开学考) 已知等边三角形 $\text{[math]}$ 的边长为1，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 0 D . 3

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6. (2024高一下·赣州月考) 克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 的内接四边形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则圆 $\text{[math]}$ 的半径为（）

A . 4 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023高三下·山东开学考) 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为3，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．若在正方形 $\text{[math]}$ 内有一动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹长为（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023高三下·山东开学考) 设 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2024高二下·东莞期末) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ B . 双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时，双曲线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 没有公共点 D . 当 $\text{[math]}$ 时，双曲线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 恰有两个公共点

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10. (2023高三下·山东开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ ．若曲线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且关于直线 $\text{[math]}$ 对称，则（）

A . $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最大值为2 D . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增

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11. (2023高三下·山东开学考) 在数列 $\text{[math]}$ 中，若对于任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，数列 $\text{[math]}$ 为常数列 B . 当 $\text{[math]}$ 时，数列 $\text{[math]}$ 为递减数列，且 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时，数列 $\text{[math]}$ 为递增数列 D . 当 $\text{[math]}$ 时，数列 $\text{[math]}$ 为单调数列

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12. (2023高三下·山东开学考) 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为奇函数，且对于任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 为偶函数 D . $\text{[math]}$ 为奇函数

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三、填空题

13. (2023高三下·山东开学考) 写出曲线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 的一条切线方程．

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14. (2023高三下·山东开学考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的周长为．

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15. (2023高三下·山东开学考) 设奇函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，且对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ．若当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为．

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16. (2023高三下·山东开学考) 已知三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为6，且 $\text{[math]}$ ．若该三棱锥的四个顶点都在球 $\text{[math]}$ 的球面上，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为．

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四、解答题

17. (2023高三下·山东开学考) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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18. (2023高三下·山东开学考) 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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19. (2023高三下·山东开学考) 为了促进地方经济的快速发展，国家鼓励地方政府实行积极灵活的人才引进政策，被引进的人才，可享受地方的福利待遇，发放高标准的安家补贴费和生活津贴．某市政府从本年度的1月份开始进行人才招聘工作，参加报名的人员通过笔试和面试两个环节的审查后，符合一定标准的人员才能被录用．现对该市1~4月份的报名人员数和录用人才数（单位：千人）进行统计，得到如下表格．

月份	1月份	2月份	3月份	4月份
报名人员数 $\text{[math]}$ /千人	$\text{[math]}$	5	$\text{[math]}$	7
录用人才数 $\text{[math]}$ /千人	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

附：经验回归方程 $\text{[math]}$ 中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $\text{[math]}$

（1）求出y关于x的经验回归方程；
（2）假设该市对被录用的人才每人发放2万元的生活津贴
（i）若该市5月份报名人员数为8000人，试估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额；

（ii）假设在参加报名的人员中，小王和小李两人被录用的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若两人的生活津贴之和的均值不超过3万元，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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20. (2024高三上·硚口) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为等边三角形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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21. (2023高三下·山东开学考) 已知 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点， $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的准线 $\text{[math]}$ 上的一点，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ 的面积为1．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作一条直线 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，试问在 $\text{[math]}$ 上是否存在定点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的斜率之和等于直线 $\text{[math]}$ 斜率的平方？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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22. (2023高三下·山东开学考) 已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的最小值相等，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若方程 $\text{[math]}$ 恰有一个实根，求 $\text{[math]}$ 的值．
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